Algèbre linéaire : notions importantes

1 Espaces vectoriels 1.1 Préliminaires Déf.: groupe : ensemble G plus loi ∗ : G × G → G associative (∀x, y, z : x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z), avec él. neutre (∃e, ∀x : e ∗ x = x ∗ e = x) et symétrique (∀x, ∃x̄ : x ∗ x̄ = x̄ ∗ x = e). abélien = commutatif : x ∗ y = y ∗ x; notation additive : ∗ = +, e = 0, x ∗ ȳ = x − y. Ex.: (ℤ, +), (ℝ^{∗}, ·), ({z ∈ ℂ | |z| = 1} , ·) groupes abéliens, (ℕ, +) non. Déf.: groupe symétrique S(E) = permutations de E = bijections E → E Déf.: corps : groupe (𝕂, +, 0) plus loi · distributive sur + (x·(y+z) = x·y+x·z, (x+y)·z = x·z+y·z), telle que (𝕂^{∗}, ·) est un groupe ; corps commutatif si (𝕂^{∗}, ·) abélien. (𝕂^{∗} ≡ 𝕂 \ {0}) Convention : a + b · c ≡ a + (b · c) ; neutre et symétrique pour · notés 1 et x^{−1}. Ex.: ℚ, ℝ, ℂ corps commutatifs, ℤ non.

1.2 Espace vectoriel Déf.: espace vectoriel sur le corps 𝕂 (𝕂–e.v.) : groupe (E, +, o) avec ⋆ : 𝕂 × E → E t.q. 1 ⋆ x = x, λ ⋆ (μ ⋆ x) = (λ · μ) ⋆ x et λ ⋆ (x + y) = λ ⋆ x + λ ⋆ y, (λ + μ) ⋆ x = λ ⋆ x + μ ⋆ x. Ex.: Un corps 𝕂 est L–e.v. pour tout sous-corps L ⊂ 𝕂, par ex. ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ Prop.: 𝕂, E^{I} = {f : I → E} = {(f_{i})_{i∈I}} et E^{(I)} = {f ∈ E^{I} | {i ∈ I | f_{i} ≠ o} fini} sont 𝕂–e.v. Ex.: ℝ^{3}, 𝕂^{n}, 𝕂[X] ≃ 𝕂^{(ℕ)}, 𝕂^{ℕ}, E^{I}, ∏_{i∈I} E_{i} avec +,· par composante.

1.3 Sous-espace vectoriel Déf.: A + B = {a + b; a ∈ A, b ∈ B} , C · A = {λ · a; λ ∈ C, a ∈ A}. Déf.: sous-espace vectoriel (s.e.v.) : sous-ensemble F ≠ ∅ d’un 𝕂–e.v. E, t.q. F +F ⊂ F, 𝕂·F ⊂ F (� stable pour + et · �). Ex.: {o}, E sont s.e.v. de E; tout autre s.e.v. est sous-espace propre. Ex.: 𝕂_{n}[X] (polynômes de deg≤ n) est sev de 𝕂[X]. Prop.: F s.e.v. ssi o ∈ F et ∀λ, μ ∈ 𝕂, ∀x, y ∈ F : λx + μy ∈ F. Ex.: {x ∈ ℝ^{3} | x_{2} = 0} est s.e.v., {x ∈ ℝ^{2} | x_{1} = 1} non. Prop.: F ⊂ E est s.e.v. de (E, +, ·) ssi (F, +, ·) est espace vectoriel. Ex.: La droite vectorielle engendrée par a ∈ E, 𝕂 · a = {λa; λ ∈ 𝕂}, est s.e.v. de E. Ex.: ℝ · (1 + i) est s.e.v. du ℝ–e.v. ℂ; 𝕂_{n}[X] (polynômes de deg≤ n) est sev de 𝕂[X]. Ex.: Dans ℝ^{ℕ} (suites réelles), C = {(x_{n}) | lim x_{n} ∈ ℝ}, C_{0} = {(x_{n}) | lim x_{n} = 0}, S = {(x_{n}) | ∀n > N, x_{n} = x_{N}} sont des s.e.v.

1.4 Somme de s.e.v. Déf.: somme des s.e.v. F, G : F + G = {x + y; x ∈ F, y ∈ G}. Prop.: Si F et G sont s.e.v. du 𝕂–ev E, alors F + G est s.e.v. de E. Ex.: ℝ · (1, 0) + ℝ · (1, 1) = ℝ^{2}, ℝ · 1 + ℝ · i = ℂ. Cor.: Si F_{1}, ..., F_{n} s.e.v. de E, alors ∑_{i=1}^{n} F_{i} ≡ F_{1} + ⋯ + F_{n} est s.e.v. de E

1.5 Combinaisons linéaires, partie génératrice Déf.: [x_{1}, ..., x_{n}] = 𝕂 · x_{1} + ⋯ + 𝕂 · x_{n} = {λ_{1}x_{1} + ⋯ + λ_{n}x_{n} | λ_{1}, ..., λ_{n} ∈ 𝕂} sont les combinaisons linéaires (CL) des vecteurs x_{1}, ..., x_{n} du 𝕂-ev E. Prop.: [x_{1}, ..., x_{n}] est s.e.v. (car somme des droites vectorielles engendrées par les x_{i}). Déf.: si F = [x_{1}, ..., x_{n}], on dit que {x_{1}, ...x_{n}} est partie génératrice de F.

1.6 Somme directe, supplémentaires Déf.: s.e.v. F, G linéairement indépendants ssi F ∩ G = {o}; F + G est alors somme directe notée F ⊕ G, et F et G sont supplémentaires dans l’e.v. F + G. Ex.: fonctions numériques ℝ^{ℝ} = {f ∈ ℝ^{ℝ} | f paire} ⊕ {f ∈ ℝ^{ℝ} | f impaire}.

Prop.: E = F ⊕ G ⟺ ψ : F × G → E, (y, z) ↦ y + z bijective ⟺ ∀x ∈ E, ∃_{1}! (y, z) ∈ F × G : x = y + z [unicité de la décomposition].

Déf.: projecteur sur F parallèlement à G : p_{F} : x ↦ y pour x = y + z ∈ F ⊕ G, (y, z) ∈ F × G

1.7 Famille libre Déf.: (v_{1}, ..., v_{n}) libre ssi λ_{1}x_{1} + ⋯ + λ_{n}x_{n} = 0 ⟹ (λ_{1}, ..., λ_{n}) = (0, ..., 0) ; Déf.: (v_{1}, ..., v_{n}) liée ssi non libre, c-à-d. ∃(λ_{1}, ..., λ_{n}) ≠ (0, ..., 0) t.q. λ_{1}x_{1} + ⋯ + λ_{n}x_{n} = 0. Rem.: On dit {v_{1}, .., v_{n}} libre si (v_{1}, ..., v_{n}) libre. (Réciproque fausse si v_{i} = v_{j} !) Ex.: {(1, 0), (1, 1)} est libre ; {v} est libre ssi v ≠ o, A = {v_{1}, ..., v_{n}} lié si o ∈ A. Prop.: F = (v_{1}, ..., v_{n}) libre ssi Ψ_{F} : 𝕂^{n} → E, (λ_{1}, ..., λ_{n}) ↦ λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{n}v_{n} est injective ssi [v_{1}, ..., v_{n}] = [v_{1}] ⊕ ⋯ ⊕ [v_{n}]

1.8 Base Déf.: base de E = famille libre et génératrice de E Ex.: e = ((1, 0), (0, 1)) base de ℝ^{2}, de même on a la base canonique de ℝ^{n}. Rem.: base pas unique, p.ex. ((1, 1), (0, 1)) aussi base de ℝ^{n}.

Thm.: (b_{1}, ..., b_{n}) base de E \begin{matrix}⟺ ∀x ∈ E, ∃_{1}! λ ∈ 𝕂^{n} : x = λ_{1}b_{1} + ⋯ + λ_{n}b_{n} \\ ⟺ E = [b_{1}] ⊕ ⋯ ⊕ [b_{n}] . \end{matrix}

Déf.: (λ_{1}, ..., λ_{n}) sont les coordonnées de x = λ_{1}b_{1} + ⋯ + λ_{n}b_{n}, par rapport à la base (b_{1}, ..., b_{n}).

1.9 dimension Déf.: e.v. de dimension finie ss’il possède partie génératrice finie. Ex.: ℝ^{n}. — Contre-exemple : 𝕂[X] Thm.: (fondamental) si E = [v_{1}, ..., v_{n}], alors (x_{1}, ..., x_{n+1}) toujours liée. Cor.: (thm de la dimension) toutes les bases de E ont le même cardinal Déf.: si b est une base de E, on appelle dim E := card b la dimension de E. Cor.: dim E = n ⟹ famille libre (génératrice) a au plus (au moins) n vecteurs. Thm.: (caract.des bases) Une famille de n = dim E vecteurs est libre ssi génératrice ssi base. Thm.: (de la base incomplète) si L est libre et G ⊃ L génératrice, il existe base B : L ⊂ B ⊂ G. Cor.: tout ev admet une base. Cor.: si dim E = n, alors tout sev F admet un supplémentaire G et dim E = dim F + dim G. Cor.: pour F, G s.e.v. de E, dim(F + G) = dim F + dim G − dim(F ∩ G).

1.10 Familles (infinies) de vecteurs Rappel : famille f = (f_{i})_{i∈I} de vecteurs : application f : I → E; i ↦ f_{i}. Ex.: I = {1, 2} : f = (f_{1}, f_{2}), f_{i} ∈ E. I = ℕ, E = 𝕂[X] : f = (X^{k})_{k∈ℕ}. Déf.: familles presque nulles E^{(I)} = {f ∈ E^{I} | {i ∈ I | f_{i} ≠ 0} fini} Déf.: application linéaire attachée à une famille f ∈ E^{I} : Ψ_{f} : 𝕂^{(I)} → E, (λ_{i})_{i∈I} ↦ ∑_{i∈I} λ_{i}f_{i}. Déf.: famille f libre, génératrice, base ssi Ψ_{f} injective, surjective, bijective. Thm.: (b_{i})_{i} base de E ⟺ ∀x ∈ E, ∃_{1}! λ ∈ 𝕂^{(I)} : x = ∑_{i} λ_{i}x_{i}. Déf.: Pour x = ∑ λ_{i}b_{i}, (λ_{i})_{i∈I} sont les coordonnées de x par rapport à la base b = (b_{i})_{i∈I}. Ex.: base canonique de K^{(I)} : e = (e_{i})_{i∈I} avec e_{i} = (δ_{i}_{j})_{j∈I}. Thm.: b = (b_{i})_{i∈I} base de E, (f_{i})_{i∈I} famille de F ⟹ ∃_{1}! f ∈ L(E, F) : ∀i, f(b_{i}) = f_{i}.

1.11 Intersection et somme de familles de sous-espaces vectoriels Prop.: F, G sev, alors F ∩ G sev ; si F_{i} sev ∀i ∈ I, ⋂_{i} F_{i} est sev. Ex.: Dans ℝ^{3}, F = 𝕂 · (1, 0, 0) + 𝕂 · (0, 1, 0), G = 𝕂 · (1, 2, 0) + 𝕂 · (0, 1, 2) ⟹ F ∩ G = 𝕂 · (1, 2, 0). Déf.: Pour A ⊂ E, vect A := ⋂_{sev F ⊃A} F est le s.e.v. engendré par A.

Prop.: vect A = {x ∈ E | ∃n ∈ ℕ, ∃x_{1}, ..., x_{n} ∈ A : x ∈ [x_{1}, ..., x_{n}]}, ens. des CL d’éléments de A.

Déf.: somme de s.e.v. (F_{i})_{i∈I} : ∑_{i} F_{i} = vect ⋃_{i} F_{i}. Déf.: somme directe de s.e.v. : ⨁_{i} F_{i} = ∑_{i} F_{i} avec ∀i : F_{i} ∩ ∑_{j≠i} F_{j} = {o}. Prop.: E = ⨁_{i} F_{i} ⟺ Ψ : ∏′_{i} F_{i} → E, (x_{i})_{i∈I} ↦ ∑_{i} x_{i} bijective. (détail : ∏′ = E^{(I)} ∩ ∏...)

1.12 Opérations élémentaires sur une famille Déf.: pour f ∈ E^{I}, vect f = vect im f ; rang de la famille : rang f = dim vect f. Déf.: opérations élémentaires sur famille (f_{i})_{i∈I} ∈ E^{I} : f′_{i} = λf_{i} (λ ≠ 0) ; f′_{i} = f_{i} + f_{j}, (j ≠ i). Prop.: les opérations élémentaires ne changent pas vect f. Déf.: famille f′ équivalente à f (noté f′ ∼ f) ssi f′ s’obtient de f par opérations élémentaires. Thm.: (Gauss) pour (f_{1}, ..., f_{n}) il existe f′ ∼ f t.q. (f′_{1}, ..., f′_{r}) libre et f′_{i} = o pour i > r = rang f.

2 Applications linéaires 2.1 Définitions, exemples, règles de calcul Déf.: applications (𝕂–)linéaires L(E, F) : ensemble des f ∈ F^{E} (E, F étant 𝕂–e.v.) t.q. ∀x, y ∈ E : f(x + y) = f(x) + f(y) et ∀λ ∈ 𝕂 : f(λ x) = λ f(x). Ex.: ∀α ∈ 𝕂, l’homothétie h_{α} : E → E; x ↦ α x est application linéaire (si 𝕂 commutatif). Pour α = 0 et α = 1, on obtient l’application nulle o_{E} et l’identité id_{E}. Ex.: app.lin. attachée à une famille F = (v_{1}, ..., v_{n}) : Ψ_{F} : 𝕂^{n} → E, (λ_{1}, ..., λ_{n}) ↦ λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{n}v_{n}. Prop.: f ∈ F^{E} linéaire ssi ∀λ, μ ∈ 𝕂, ∀x, y ∈ E : f(λx + μy) = λf(x) + μf(y). Cor.: (règles de calcul) f ∈ L(E, F) ⟹ f(o_{E}) = o_{F} , f(−x) = −f(x). Déf.: formes linéaires (dual) E′ = L(E, 𝕂), endomorphismes L(E) = End(E) = L(E, E). Ex.: ∀x ∈ 𝕂^{n}, Ψ_{x} est forme linéaire sur 𝕂^{n}.

2.2 Image, image réciproque, noyau. Déf.: image de A ⊂ E : f(A) = {f(x); x ∈ A}; im f = f(E) ; noyau de f ∈ L(E, F) : ker f = f^{−1}(o) = {x ∈ E | f(x) = o}; image réciproque f^{−1}(B) = {x ∈ E | f(x) ∈ B}. Prop.: Si f ∈ L(E, F); E_{1}, F_{1} s.e.v. de E, F ⟹ f(E_{1}), f^{−1}(F_{1}) s.e.v. de F, E (⇝ im f, ker f). Thm.: ker f = {o} ⟺ f injective. Rem.: im f = F ⟺ f surjective

2.3 Applications bilinéaires, algèbres Déf.: φ : E × F → G bilinéaire ssi ∀x ∈ E, y ∈ F : φ(x, ·) ∈ L(F, G), φ(·, y) ∈ L(E, G) Prop.: (composée) ∘ : L(E, F) × L(F, G) → L(E, G), (f, g) ↦ g ∘ f est bilinéaire. Ex.: ⋆ : 𝕂 × E → E est bilinéaire (considérant 𝕂 comme esp.vect.). Ex.: produit scalaire 𝕂^{n} × 𝕂^{n} → 𝕂, x · y = ∑_{i=1}^{n} x_{i}y_{i}. Déf.: algèbre (E, +, ·, φ) : e.v. (E, +, ·) avec application bilinéaire φ : E^{2} → E. Ex.: polynômes, avec φ = · (produit) ; endomorphismes L(E), avec φ = ∘. Rem.: (L(E), ∘) unitaire, associative. (𝕂[X], ·) de plus commutative. Rem.: pour [f, g] = f ∘ g − g ∘ f, L(E) est algèbre non unitaire, non associative, non commutative.

2.4 Isomorphismes Déf.: isomorphismes Iso(E, F) = app.lin.bijectives ; ev isomorphes : E ≃ F ⟺ Iso(E, F) ≠ ∅ Prop.: f ∈ Iso(E, F) ⟹ f^{−1} ∈ Iso(F, E) ; g ∈ Iso(F, G) ⟹ g ∘ f ∈ Iso(E, G). Thm.: (b_{i})_{i∈I} base de E ⟹ E ≃ 𝕂^{(I)} ; E ≃ F ⟺ dim E = dim F. Déf.: automorphismes Aut(E) := Iso(E, E), groupe linéaire GL(E) := (Aut(E), ∘). Rem.: GL(E) = L(E)∩S(E) sous-groupe de S(E) mais pas un s.e.v. de L(E) : (app.nulle o ∉ GL(E). Ex.: homothétie h_{α} ∈ GL(E) ⟺ α ≠ 0 (ou E = {o}).

2.5 Théorème du rang Thm.: rang f + dim ker f = dim E Cor.: rang f ≤ min(dim E, dim F), f injective si rang f = dim E, surjective si rang f = dim F

3 Matrices 3.1 Définitions Déf.: matrice à m lignes, n colonnes, coefficients ds 𝕂 : (A_{ij}) ∈ M_{m,n}(𝕂) = 𝕂^{{1,...,m}×{1,...,n}} Déf.: matrice ligne (m = 1), colonne (n = 1), carrée (m = n). Déf.: Mat_{B} F = A = matrice des coord. de la famille F = (∑_{i=1}^{m} A_{ij}b_{i})_{j∈J} ds la base B = (b_{i})_{i∈I}

3.2 Opérations Déf.: transposée ^{t} : M_{m,n}(𝕂) → M_{n,m}(𝕂), ^{t}(A)_{ji} = (A_{ij}). Déf.: produit matriciel M_{m,n}(𝕂) × M_{n,p}(𝕂) → M_{m,p}(𝕂) : A · B = C avec C_{ij} = ∑_{k=1}^{n} A_{ik}B_{kj}. Rem.: C_{ij} est produit scalaire de la i^{e} ligne de A avec la j^{e} colonne de B.

3.3 Matrice d’une app.lin. Déf.: Mat_{B,C} f = Mat_{C} f(B) pour f ∈ L(E, F) ; B, C bases de E, F.

Ex.: f : ℝ^{2} → ℝ^{2}; f(x, y) = (x − y, 2y − x) ⟹ Mat_{e,e} f = (\begin{matrix}1 & −1 \\ −1 & 2 \end{matrix}). (e base canonique)

Cor.: rang f = rang Mat_{B,C} f (B, C bases quelconques) Prop.: f ∈ L(E, F), B, C bases respect. ⟹ Mat_{C} f(v) = Mat_{B,C} f · Mat_{B} v Cor.: F famille ⟹ Mat_{C} f(F) = Mat_{B,C} f · Mat_{B} F Prop.: matrice de la composée E →^{f} F →^{g} G : Mat_{B,D} g ∘ f = Mat_{C,D} g · Mat_{B,C} f. Thm.: base de im f, ker f à partir de Mat f avec opérations élémentaires (méthode de Gauss)

3.4 Matrices carrées Déf.: M_{n}(𝕂) = M_{n,n}(𝕂) ; triangulaire supérieure (A_{ij} = 0 si i > j), inférieure (0 si i < j), diagonale (0 si i ≠ j) ; symétrique si ^{t}A = A, antisymétrique si ^{t}A = −A. Prop.: (M_{n}, ·) est une algèbre. Déf.: A inversible ssi ∃B = A^{−1} : AB = BA = 1l. Prop.: A inversible ssi rang A = n.

3.5 changement de base Déf.: matrice de passage de la base B à la nlle base C : P = Mat_{B} C Prop.: coord. de v ∈ E ds nlle base : Mat_{C} v = P^{−1} Mat_{B} v. Cor.: matrice d’une famille F de E : Mat_{C} F = P^{−1} Mat_{B} F. Cor.: P^{−1} = Mat_{C} B Prop.: matr. d’une app.lin. ds nlls bases B′, C′ : Mat_{B′,C′} f = (Mat_{C} C′)^{−1} · Mat_{B,C}(f) · Mat_{B} B′. Cor.: matr. d’un endom. ds nlle base C : Mat_{C,C} f = P^{−1} Mat_{B,B}(f) · P.

4 Systèmes linéaires Déf.: Syst.lin. à m éq., n inconnues : famille d’éq. : (a_{i1}x_{1} + ⋯ + a_{in}x_{n} = b_{i})_{i=1...m} (S). Prop.: (S) ⟺ AX = B avec A ∈ M_{m,n}(𝕂), X ∈ M_{n,1}(𝕂), B ∈ M_{m,1}(𝕂) Prop.: (S) ⟺ f_{A}(x) = b avec f_{A} ∈ L(𝕂^{n}; 𝕂^{m}), Mat_{e,e′} f_{A} = (a_{ij}) Déf.: r = rang(S) = rang A = rang f_{A} Déf.: (S) incompatible ⟺ AX = B n’admet pas de solution X ∈ M_{n,1}(𝕂). (A, B données) Prop.: (S) incompatible ⟺ b ∉ im f_{A} ⟺ B ∉ vect {A^{j}}_{j=1..n} (colonnes) Prop.: Solutions de (S) : f_{A}^{−1}(b) = x_{0} + ker f_{A} avec f_{A}(x_{0}) = b (x_{0} : solution particulière) Déf.: Système de Cramer : m = n et A inversible ( ⟺ r = rang(S) = n). Prop.: Pour un système de Cramer, il exise 1 unique solution : X = A^{−1}B. Déf.: inconnues, équations principales : {x_{j_{1}}, ..., x_{j_{r}}} et {i_{1}, ..., i_{r}} t.q. sous-système de Cramer. Prop.: Résolution pratique : triangularisation de Gauss / Gauss-Jordan