Université des Antilles et de la Guyane Faculté des Sciences Exactes et Naturelles

Département Scientifique Interfacultaire, Campus de Schoelcher

DEUG MIAS — Module MIP2 — Mathématiques 2

* * * Examen partiel — avril 2001 * * *

Durée : 3 heures — Aucun document ni calculatrice autorisés !

NB : La clarté de la rédaction est un élément important dans l’appréciation des copies ! [1 pt]

Partie I : Algèbre Linéaire

Exercice 1. [4 pt] Soient u = (1, −2, 3) et v = (−1, 2, 4) deux vecteurs de ℝ^{3}, et

F = {x ∈ ℝ^{3} | ∃α, β ∈ ℝ : x = α u + β v} .

(a) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de ℝ^{3}, et F ≠ ℝ^{3}.

(b) Montrer que la famille (u, v) est libre. En déduire que pour tout x ∈ F, il existe un unique (α, β) ∈ ℝ^{2} tel que x = α u + β v.

(c) Montrer que le vecteur w = (1, 0, 1) n’est pas dans F.

En déduire que (u, v, w) est une base de ℝ^{3}, et qu’il y a un unique endomorphisme f ∈ L(ℝ^{3}) tel que

f(u) = u , f(v) = v , f(w) = u + v .

(d) Pour α, β, γ ∈ ℝ, exprimer f(α u + β v + γ w) en terme de u, v, w. En déduire f^{2}(α u + β v + γ w) (avec f^{2} = f ∘ f). Que peut-on dire de l’endomorphisme f ?

Exercice 2. [4 pt] On considère l’espace des polynômes E = ℝ[X].

(a) Montrer que f : P ↦ X P′ − P est un endomorphisme de E. (On peut utiliser que la dérivation P ↦ P′ est linéaire.)

(b) Montrer que F = {P ∈ E | deg(P) ≤ 2} est un sous-espace vectoriel de E, et en donner une base.

(c) Calculer explicitement f(P) pour P = a X^{2} + b X + c ∈ F. En déduire que la restriction de f à F est un endomorphisme de F.

(d) Donner une base de im f|_{F}. En déduire la dimension de ker f|_{F}.

Partie II : Analyse 2

Exercice 3. [3 pt] Calculer les limites suivantes :

(a) lim_{x→1} (\frac{1}{ln x} − \frac{1}{x − 1})
(b) lim_{x→∞} (\sqrt[3]{x^{6} + x^{4}} − \sqrt{x^{4} + x^{2}})

Exercice 4. [3 pt] (a) Montrer que f : ℝ → ℝ définie par

f(0) = 0 et f(x) = x^{3} sin \frac{1}{x} pour x ≠ 0

admet un développement limité d’ordre 2 au voisinage de 0.

(b) Montrer que f est continûment dérivable sur ℝ.

(c) Montrer que f n’est pas deux fois dérivable en x = 0.

Exercice 5. [5 pt] On considère la fonction f : ℝ_{+} → ℝ, définie par

f(0) = 0 ; f(x) = x^{2} (ln(x + 1) − ln x) pour x > 0 .

(a) Montrer que f admet un développement limité d’ordre 1 au voisinage de zéro. [Rappel : lim_{x→0} x ln x = 0.]

(b) En déduire que f est dérivable en 0, et donner l’équation de la tangente 𝒯 au graphe 𝒞 de f en (0, 0).

(c) Montrer d’abord que f(x) = x^{2} ln(1 + \frac{1}{x}) (pour x > 0), et donner le DL_{3}(0) de g : u ↦ ln(1 + u). Calculer alors le développement limité d’ordre 2 au voisinage de +∞ de h : x ↦ \frac{f(x)}{x}.

(d) Déterminer l’équation de la droite Δ asymptote à 𝒞 au voisinage de +∞, ainsi que la position de 𝒞 par rapport à Δ.

∗ ∗ ∗ 𝔉𝔦𝔫 ∗ ∗ ∗