Université Antilles–Guyane DEUG MIAS UFR Sciences Exactes et Naturelles Module MIP2 Dépt Scientifique Interfacultaire 2^{e} semestre 2003-2004

Partiel de Mathématiques 2 — mars 2004

Durée : 3 heures — Documents, calculatrices et téléphones interdits.

Première partie : Algèbre Linéaire

Exercice 1. Pour chacun des choix (a)–(f) ci-dessous, jusifiez brièvement s’il est correct (citer un théorème ou donner une preuve de deux lignes maximum) ou donnez un contre-exemple s’il est faux : Une partie non-vide A du ℝ–espace vectoriel ℝ^{2} est s.e.v. de ℝ^{2}, si ...

(a) ... A est réunion de deux autres s.e.v. (sous-espaces vectoriels) de ℝ^{2}.

(b) ... A est intersection d’un nombre quelconque de s.e.v. de ℝ^{2}.

(c) ... A est le noyau d’une application linéaire quelconque.

(d) ... A est l’image d’une application bijective.

(e) ... A contient toute somme et différence de ses éléments.

(f) ... pour tout x, y ∈ A et tout λ > 0, on a : x − λ y ∈ A.

Exercice 2. Soit f une application linéaire bijective.

Montrer que l’application réciproque f^{−1} est également linéaire.

Exercice 3. Soit f ∈ L(E, F) et (v_{1}, ..., v_{n}) une famille de n vecteurs de E. (a) Montrer que f est surjective, si vect { f(v_{1}), ..., f(v_{n}) } = F.

(b) Montrer que (f(v_{1}), ..., f(v_{n})) est liée, si (v_{1}, ..., v_{n}) est liée.

(c) Que peut-on dire de la dimension de E, si { f(v_{1}), ..., f(v_{n}) } est libre ?

Exercice 4. On considère le sous-espace F = [v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}] de ℝ^{3} engendré par les quatre vecteurs v_{1} = (1, 4, 1), v_{2} = (2, 7, 1), v_{3} = (2, 5, −1), v_{4} = (1, 2, −1).

(a) Trouver une famille échelonnée qui engendre ce même sous-espace F.

(b) Déterminer un supplémentaire de F. (Justifiez votre réponse.)

Tournez la page, S.V.P. !

Deuxième partie : Analyse

Exercice 5. Tracer les graphes de x ↦ sin^{2} x et de x ↦ cos^{2} x sur l’intervalle [ −\frac{π}{4}, \frac{3}{4} π ], puis calculer la surface de l’aire délimitée par ces courbes.

Exercice 6. Soit f ∈ C^{3}(ℝ) une fonction numérique trois fois continûment dérivable sur ℝ. On se propose de montrer que

∀x ∈ ℝ : f′′(x) = lim_{h→0} \frac{f(x + h) − 2 f(x) + f(x − h)}{h^{2}} .  (1)

(a) En utilisant la formule de Taylor avec reste intégral à un ordre convenable, montrer qu’on a

∀x, h ∈ ℝ : f(x + h) − 2 f(x) + f(x − h) = h^{2} f′′(x) + R(x; h) , (2)

où l’on exprimera R(x; h) comme somme de deux intégrales.

(b) Soit g ∈ C(ℝ) une fonction numérique continue sur ℝ. En utilisant le théorème de la moyenne généralisé, montrer que

∀x, y ∈ ℝ, ∃z ∈ [x, y] : ∫_{x}^{y} g(t) (y − t)^{2} dt = \frac{1}{3} g(z) (y − x)^{3} . (3)

(c) Déduire de la question précédente la valeur de r(x) = lim_{h→0} \frac{1}{h^{3}} R(x; h) en fonction de x ∈ ℝ.

En déduire l’équation (1).

Exercice 7. Calculer l’intégrale I_{2} = ∫0^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{1}{1 − x^{4}} dx.

Simplifier le résultat. En donner une valeur approchée (ln 3,7 ≈ 1,3; π ≈ 3).

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