Université Antilles–Guyane DEUG MIAS UFR Sciences Exactes et Naturelles Module MIP2 Dépt Scientifique Interfacultaire 2^{e} semestre 2002

Partiel de Mathématiques 2 — avril 2002

Durée : 3 heures — Documents, calculatrices et téléphones interdits.

Première partie : Algèbre Linéaire

Exercice 1. [Les questions (1c)–(1e) sont indépendantes du (1b).] [5.5 pts]

(a) Montrer que l’application u : ℝ^{3} → ℝ^{3} ; (x, y, z) ↦ (2x−y, y+z, x+y) est un endomorphisme de ℝ^{3}.

(b) Déterminer ker u, le noyau de u. Peut-on déduire que u est injective ?

(c) Montrer que l’ensemble F = { (λ + μ, 2λ − μ, μ − 2λ) ; λ, μ ∈ ℝ } est un s.e.v. de ℝ^{3}.

(d) Trouver une base de F. (Justifier la réponse !)

(e) Déterminer l’image de F par u, puis une base de u(F).

Exercice 2. Soit p un endomorphisme d’un e.v. E tel que p ∘ p = p. Montrer que [3.5 pts] le noyau de p et l’image de p sont deux sous-espaces supplémentaires de E. (Indication : considérer l’image par p de x − p(x).)

Deuxième partie : Analyse

Exercice 3. (a) Justifier, à l’aide d’arguments simples (sans faire de calcul), qu’il [3.0 pts]

existe α ∈ ℝ tel que : tan x = x + α x^{3} + o(x^{3}) (pour x → 0).

(b) A l’aide du (a), trouver un DL_{4}(0) de x ↦ tan^{2} x, en fonction de α.

(c) En déduire un DL_{4}(0) de (tan x)′, puis le DL_{5}(0) de tan x (d’abord en fonction de α, que l’on précisera en comparant ce résultat au (a).)

Exercice 4. (a) Montrer que f : t ↦ (\frac{sin t}{t})^{\frac{1}{tan^{2} t}} (0 < |t| < \frac{π}{2}) admet un [5.5 pts]

prolongement par continuité en 0, que l’on précisera. (Utiliser un D.L.)

(b) Déterminer le DL_{2}(0) de f(t). (On peut utiliser l’exercice 3.)

(c) Faire une étude locale du prolongement de f au point x = 0 (nature du point, tangente, position relative, convexité ou concavité).

Exercice 5. Calculer, pour tout m, n ∈ ℕ : I_{m,n} = ∫_{α}^{β}(t − α)^{m}(t − β)^{n} dt , [2.5 pts] où α, β sont deux réels quelconques. (Indication : à l’aide d’une intégration par parties, trouver une relation entre I_{m,n} et I_{m−1,n+1}, puis en déduire I_{m,n} en fonction de I_{0,n+m} que l’on calculera.)