Université Antilles–Guyane — UFR Sciences Exactes et Naturelles Département Scientifique Interfacultaire (campus de Schœlcher)

MIAS-1 / Maths 2 : Memento pratique en algèbre linéaire (suite):

Calcul matriciel et Applications

Généralités concernant le calcul matriciel

On note

– M_{n,p}(𝕂) les matrices à n lignes et p colonnes, à éléments A_{ij} ∈ 𝕂,

– M_{n}(𝕂) = M_{n,n}(𝕂) les matrices carrées d’ordre n, ^{(i=1,...,n; j=1,...,p)} – diag(λ_{1}, ..., λ_{n}) la matrice diagonale telle que A_{ii} = λ_{i} et A_{ij} = 0 (i ≠ j),

– I_{n} = diag(1, ..., 1) la matrice identité (ou � unité �) d’ordre n.

Une matrice A à p colonnes peut multiplier (à gauche) une matrice B ssi cette dernière a p lignes ; le résultat est la matrice C = A · B constituée des

produits scalaires des lignes de A et des colonnes de B : C_{ij} = ∑_{k=1}^{p} A_{ik} B_{kj}.

Une matrice est inversible ssi, il existe une matrice, notée A^{−1}, telle que A·A^{−1} = A^{−1}·A = I; c’est le cas ssi A ∈ M_{n}(𝕂) et A^{−1}·A = I_{n} ou A·A^{−1} = I_{n}. (Exercice : donner deux matrices A, B telles que A·B = I et B·A ≠ I.)

Opérations élémentaires, réduite de Gauss-Jordan, calcul d’inverse

Une opération élémentaire sur les lignes [resp. colonnes] d’une matrice A correspond à la multiplication à gauche [resp. droite] par une matrice inversible^{1} P.

La méthode du pivot (opérations élémentaires sur les lignes de A) permet d’obtenir une matrice échelonnée, appelée réduite de Gauss de A, et en particulier la réduite de Gauss-Jordan^{2} de A (unique), telle que le premier élément non nul de chaque ligne est égal à 1 et le seul élément non nul de sa colonne.

Si la réduite de Gauss–Jordan d’une matrice augmentée (A ⋮ : B) (à n lignes et n + p colonnes) est de la forme (I_{n} ⋮ : X), alors X = A^{−1} · B; en particulier pour B = I_{n} on obtient X = A^{−1} : c’est la méthode pratique pour le calcul de l’inverse d’une matrice (voir T.D. série 5, exo 9).

1avec P = P_{ij}(λ) = I + λE_{ij} pour l’ajout de λ fois la j^{e} à la i^{e} ligne, où (E_{ij})_{i,j} est la base canonique de M_{n,p}(𝕂) (ici n = p), et alors P^{−1} = P_{ij}(−λ), sauf si i = j, auquel cas P est diagonale, multipliant la i^{e} ligne par 1 + λ (donc λ ≠ −1), et P^{−1} = P_{ii}(\frac{1}{λ+1} − 1).

2Carl Friedrich Gauß (1777–1855), M. E. Camille Jordan (1838–1922).

Rang d’une matrice

Le rang d’une matrice A ∈ M_{n,p}(𝕂), noté rg A, est égal :

– au rang de l’application f ∈ L(M_{p,1}(𝕂), M_{n,1}(𝕂)) : X ↦ f(X) = A · X,

– au rang du système des vecteurs colonnes de A,

– au rang de toute famille F = (v_{1}, ..., v_{p}) dont A est la matrice dans une certaine base (voir ci-dessous) : rg(Mat_{B} F) = rg F = dim vect F,

– au rang de toute matrice obtenue de A par opérations sur les colonnes (calcul pratique d’une base de vect { v_{1}, ..., v_{n} } et im f),

– au rang du système des vecteurs lignes de A,

– au rang de la matrice transposée de A, notée ^{t}A : rg(A) = rg(^{t}A),

– au rang de toute matrice obtenue par opérations sur les lignes de A (calcul pratique du noyau),

– au rang de toute matrice A′ = Q · A · P avec P, Q inversibles,

– au rang de toute application linéaire ayant A comme matrice par rapport à certaines bases (voir plus loin) : rg(Mat_{B,C} f) = rg f = dim im f.

Résolution d’un systèmes d’équations linéaires

Un système de n équations linéaires à p inconnues et coefficients dans 𝕂 peut s’écrire sous la forme A·X = B, avec A ∈ M_{n,p}(𝕂). Pour le résoudre, il suffit d’obtenir la réduite de Gauss-Jordan de la matrice étendue (A ⋮ : B) ∈ M_{n,p+1}, soit (A′ ⋮ : B′). Si la dernière ligne non nulle est de la forme (0 ⋯ 0 ⋮ : 1), le système est incompatible, c-à-d. il n’admet aucune solution.

Sinon, l’équation A′·X = B′ donne immédiatement les r = rg A = rg A′ inconnues principales { x_{j}; j ∈ J } correspondant aux éléments de pivot, premiers éléments non nuls des lignes de A′, en fonction du membre de droite B′ et des (p−r) inconnues non principales { x_{k}; k ∈ K }, que l’on fait passer dans le membre de droite, et qui joueront le rôle de paramètres libres, non déterminés par le système.

En complétant le système par des équations x_{k} = x_{k} pour chaque k ∈ K, on a les solutions sous la forme

X = X_{0} + ∑_{k∈K} x_{k} V_{k} , avec les x_{k} ∈ 𝕂 arbitraires,

où X_{0} et les V_{k} sont obtenus de B′ et des k^{ièmes} colonnes de −A′, en insérant des lignes nulles pour chaque k ∈ K, sauf un 1 en k^{e} position de V_{k} (correspondant à l’équation x_{k} = x_{k}).

Matrice d’une famille de vecteurs

La matrice d’une famille F = (v_{1}, ..., v_{p}) de p vecteurs d’un 𝕂–e.v. par rapport à une base B = (b_{1}, ..., b_{n}) est par définition la matrice

A = Mat_{B}(F) = (a_{ij}) ∈ M_{n,p}(𝕂) telle que ∀j ∈ { 1, ..., p } : v_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}b_{i}.

Autrement dit, la j^{e} colonne de A contient les coordonnées de v_{j} dans la base B. On peut donc la déterminer en exprimant chaque vecteur de F comme combinaison linéaire des vecteurs de B.

Si B est échelonnée, c’est facile (pour v_{j}, on a d’abord a_{1j} = (v_{j})_{1}/(b_{1})_{1} (rapport des 1^{es} composantes), puis on trouve a_{2j} en divisant la 2^{e} composante de v_{j} − a_{1j}b_{1}, par celle de b_{2}, et ainsi de suite, en soustrayant après chaque étape le vecteur a_{ij}b_{i} du � reste � à décomposer.)

Sinon, il faut en principe résoudre le système linéaire qui donne les coefficients a_{ij}, pour chaque v_{j}. Si on note P = Mat_{E} B la matrice de passage de E (base canonique ou celle dans laquelle on connaît les b_{i} et les v_{j}) à la base B, ce système s’écrit P · A_{j} = F_{j}, l’indice indiquant la j^{e} colonne des matrices F = Mat_{E} F (soit : F_{j} = Mat_{E}(v_{j})) et A (en effet, A_{j} = Mat_{B}(v_{j})).

En juxtaposant ces p matrices colonnes (membres de gauche d’une part, et membre de gauche d’autre part), ces p équations sont équivalentes à l’équation matricielle P · A = F, le calcul du membre de gauche pouvant se faire colonne par colonne.

La matrice P est forcément inversible (pourquoi ?), c’est donc un système de Cramer pour chaque colonne, dont la solution est A_{j} = P^{−1} · F_{j}, soit :

A = P^{−1} · F , ou encore : Mat_{B}(F) = ( Mat_{E}(B))^{−1} · Mat_{E}(F)
= Mat_{B}(E) · Mat_{E}(F) .

C’est sous cette dernière forme que la formule est le plus facilement mémorisable ; on retrouve cet � effet téléscopique � (base en indice égale à la base � en haut � immédiatement précédente) dans nombreuses formules similaires, voir les � applications � de la page suivante.

N.B. : au lieu de calculer l’inverse de P et de multiplier ensuite par F, on peut calculer la réduite de Gauss-Jordan de (P ⋮ : F), qui est en effet égale à (I ⋮ : A) avec A = P^{−1}·F : c’est en effet la résolution simultanée des p systèmes linéaires P · X = F_{j} pour X = A_{j}, j = 1, ..., p.

Matrice d’une application linéaire

La matrice d’une application f ∈ L(E, F) par rapport aux bases B = (b_{1}, ..., b_{p}) et C = (c_{1}, ..., c_{n}) de E et F, n’est autre que la matrice de f(B), famille image de la base � de départ �, dans la base C de l’espace d’arrivée,

Mat_{B,C} f = Mat_{C} f(B) (=: Mat_{B} f pour C = B, F = E, f ∈ L(E)) ,

ce qui est équivalent, avec (a_{ij}) = Mat_{B,C}(f), à f(b_{j}) = ∑_{i=1}^{n} a_{ij} c_{i} .

On calcule donc f(B) (généralement f(b_{i}) pour chaque i), qu’il faut exprimer dans la base C comme détaillé précédemment.

Si B, C sont les bases canoniques, il est généralement immédiat d’écrire la matrice de f à partir de la définition de f : en particulier, pour f ∈ L(𝕂^{p}, 𝕂^{n}) définie par f(x, y, z, ...) = (a_{11}x + a_{12}y + ⋯, a_{21}x + a_{22}y + ⋯, ...), on range les coefficients de x dans la 1^{e} colonne, ceux de y dans la 2^{e} colonne, etc. (On peut aussi écrire les coefficients de x, y, ... de la 1^{e} composante dans la 1^{e} ligne, puis ceux de la 2^{e} composante dans la 2^{e} ligne, etc.)

[Exercice : sous quelle condition a-t-on Mat_{B,C} Ψ_{F} = Mat_{ℂ} F, où Ψ_{F} est l’application linéaire attachée à F ?],

Les applications de la notion de matrice d’une application sont le calcul de...

– rg f = dim im f = rg(Mat_{B,C} f) (opérations sur lignes et colonnes possibles !)

– im f : échelonner les colonnes de Mat f pour obtenir une base ;

– ker f : calculer la réduite de Gauß-Jordan de Mat f, complétée par des lignes avec −1 sur la diagonale, dont les colonnes donnent le noyau ;

– l’image d’un vecteur : Mat_{C} f(x) = Mat_{B,C} f · Mat_{B}(x) = ...

(écrire la version � téléscopique � de cette formule en utilisant f(B))

– l’image d’une famille de vecteurs, Mat_{C} f(F) = Mat_{B,C} f · Mat_{B} F = ...

– la matrice d’une application composée, Mat_{B,D} g ∘ f = Mat_{C,D} g · Mat_{B,C} f = ...

Si B, C ne sont pas les bases canoniques, on fait généralement un changement de base pour obtenir Mat_{B,C}(f) à partir de Mat_{E,F}(f), E, F étant les bases (par exemple canoniques) dans lesquelles on connaît Mat(f). En utilisant la définition de Mat(f) et les formules pour l’image d’une famille et la matrice d’une famille dans une nouvelle base, on a immédiatement :

Mat_{B,C}(f) = Mat_{C}(f(B)) = Mat_{C}(F) · Mat_{F}(f(E)) · Mat_{E} B
= (Mat_{F} C)^{−1} · Mat_{E,F}(f) · Mat_{E} B

et pour f ∈ L(E) : Mat_{B}(f) = P^{−1} · Mat_{E}(f) · P , avec P = Mat_{E} B .