Université Antilles–Guyane — UFR Sciences Exactes et Naturelles Département Scientifique Interfacultaire (campus de Schœlcher)

MIAS-1 / Maths 2 : Memento pratique en algèbre linéaire

1 Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels

1. Pour montrer qu’un ensemble E est un e.v., il suffit généralement de montrer que E est un s.e.v. d’un autre e.v. bien connu (ex. : fonctions ayant une certaine propriété, matrices d’une forme particulière, ...)

2. Pour montrer que E est s.e.v., on peut utiliser le critère de s.e.v. :

∀u, v ∈ E, ∀λ ∈ 𝕂 : u + λv ∈ E

ou une variante (u + v ∈ E et λu ∈ E, ou : λu + μv ∈ E). Il faut alors utiliser la définition de E, afin d’exprimer les propositions u ∈ E et v ∈ E au départ, et u + λv ∈ E à � l’arrivée �, plus concrètement comme propriété portant sur u et v (lien entre les composantes d’un vecteur, équation vérifiée, ...)

3. Parfois il est plus facile de m.q. E est s.e.v. en montrant que

(a) E = ker f, c-à-d. E est le noyau d’une certaine application linéaire f : par exemple, { x ∈ ℝ^{3} | x_{1} + 2x_{2} = 0, x_{2} = x_{3} } est le noyau de f : ℝ^{3} → ℝ^{2}; (x, y, z) ↦ (x + 2y, y − z). Attention : il faut aussi montrer que l’application est en effet linéaire (voir ci-dessous), sauf si c’est évident. (Soyez honnêtes !)

⟹ on utilise ici le Thm. : le noyau d’une app. lin. est un s.e.v.

(b) E = [u, v, w, ...] = vect { u, v, w... }, c-à-d. E est égal à l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires de certains éléments (vecteurs, matrices, fonctions...).

⟹ on utilise ici le Thm.: l’ensemble des comb. lin. d’une partie

ou famille est un s.e.v. (égal au s.e.v. engendré par cette partie) Moins souvent, on utilisera aussi les Thm.s affirmant que

(c) E est s.e.v. si E est l’intersection de certains autres s.e.v.

(d) E est s.e.v. si E est somme d’autres s.e.v.

(Attention : la réunion de s.e.v. n’est pas s.e.v. en général !)

Famille libre, génératrice, base et dimension d’un s.e.v.

La dimension d’un (sous-)espace vectoriel est le cardinal de l’une de ses bases, c-à-d. d’une famille qui engendre cet espace et qui est libre.

Une famille (v_{1}, ..., v_{n}) est libre ssi :

λ_{1} v_{1} + ⋯ + λ_{n} v_{n} = o ⟹ λ_{1} = 0, λ_{2} = 0, ..., λ_{n} = 0 .

En général, la résolution de cette équation vectorielle n’est pas évidente. (Pour v_{i} ∈ ℝ^{m}, chacune des m composantes donne une équation pour les n inconnues λ_{i}.) Or, si la famille (v_{i}) est echelonnée, c-à-d. par exemple

v_{1} = (1, ∗, ∗, ∗, ...), v_{2} = (0, 0, 1, ∗, ∗, ∗, ...), ..., v_{n} = (0, ..., 0, 1, ∗),

alors il est immédiat que λ_{1} v_{1} + ⋯ + λ_{n} v_{n} = o implique, en vue de la 1^{e} composante, que λ_{1} = 0 ; puis, la 3^{e} composante donne λ_{2} = 0, et ainsi de suite jusqu’à λ_{n} = 0, la famille est donc libre. Si par contre le dernier vecteur de la famille est le vecteur nul, on peut prendre λ_{n} ≠ 0, et la famille est liée :

• une famille qui contient le vecteur nul est toujours liée,

• une famille échelonnée est libre si elle ne contient pas le vecteur nul.

La méthode du pivot de Gauss permet, pour tout système de n vecteurs de ℝ^{m}, de trouver un système échelonné équivalent, qui engendre le même s.e.v. Les vecteurs non-nuls de la famille échelonnée sont alors une base du s.e.v. engendré, leur nombre sa dimension.

Dans un espace \underline{de dimension d} :

• une famille de plus de d vecteurs est toujours liée,

• une famille libre peut avoir au plus d vecteurs,

• pour une famille de \underline{d vecteurs}, libre ⟺ génératrice ⟺ base.

Ainsi, si un sous-espace F de E est de la même dimension que E, toute base de F est base de E, d’où : F = E! En particulier :

si f ∈ L(ℝ^{m}, ℝ^{n}) vérifie rg f = n (voir ci-dessous), alors im f = ℝ^{n}... mais : on n’a pas rg f = k ⟹ im f = ℝ^{k} si k < n!! : im f est toujours un ensemble de vecteurs à n composantes (éléments de ℝ^{n}), quel que soit rg f !).

2 Application linéaires

Pour montrer qu’une application f : E → F est linéaire, on peut utiliser la définition,

∀u, v ∈ E, ∀λ ∈ 𝕂 : f(u + v) = f(u) + f(v), f(λu) = λf(u)

ou une variante équivalente : f(u + λv) = f(u) + λf(v), ou encore comparer au critère de s.e.v.

f(λu + μv) = λf(u) + μf(v). — différences ?

Il faut alors calculer le vecteur somme u + v, appliquer la définition de f, et voir si ce résultat est égal à la somme des vecteurs f(u) et f(v).

Dans le cas fréquent où E = ℝ^{n}, il est plus rapide d’écrire f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) sous la forme

f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) = x_{1} v⃗_{1} + x_{2} v⃗_{2} + ⋯ + x_{n} v⃗_{n}

avec (comme on constatera !) v⃗_{i} = f(e_{i}) : v⃗_{1} = f(1, 0...0), ..., v⃗_{n} = f(0...0, 1). et on sait qu’une application de cette forme est linéaire : c’est l’application linéaire attaché à la famille (v⃗_{1}, ..., v⃗_{n}), linéaire d’après une Prop. du cours. P.ex. l’application du 1.(3a) s’écrit f(x, y, z) = x (1, 0) + y (2, 1) + z (0, −1), c’est donc l’app. lin. attachée à la famille ((1, 0), (2, 1), (0, −1)), dc linéaire.

Image et noyau

Cette écriture de f montre aussi que l’image de f est égal à l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs v⃗_{1}, ..., v⃗_{n} (voir le cours à ce sujet aussi : [(v_{i})] = Ψ_{(v_{i})} !), soit :

im f = [ f(e_{1}), ..., f(e_{n}) ] , où (e_{1}, ..., e_{n}) est une base de E = D_{f} ;

on en détermine une base en utilisant la méthode du pivot de Gauss.

Avec cette base, on connaît rg f = dim im f, d’où aussi (Thm. du rang !)

dim ker f = n − rg f , (n = dim E = dim D_{f}) ,

information utile pour déterminer ker f : si dim ker f = 0, alors ker f = { o }; si dim ker f = 1, alors ker f = vect { v } avec v n’importe quel vecteur non-nul tel que f(v) = o; si dim ker f = 2, alors une base de ker f est donnée par deux vecteurs non proportionnels annulant f.

P.ex. pour f ci-dessus, on a im f = ℝ^{2} ⟹ rg f = 2 ⟹ dim ker f = 1, on trouve (déf. au 1.(3a)) f(x, y, z) = 0 ⟺ y = z et x = −2y, donc ker f = vect { (−2, 1, 1) }.

Le calcul matriciel fournit une méthode générale et efficace pour trouver le noyau d’une application linéaire :

concernant le cours...

L’intérêt du cours est double : il donne des théorèmes utiles dans les applications (si !), mais en même temps c’est un recueil d’exercices corrigés ! En effet, les Propositions et Théorèmes sont les exercices : � montrer que... �, les démonstrations sont les solutions ; elles illustrent comment on utilise les notions (définitions) et les théorèmes rencontrés auparavant.