Université des Antilles et de la Guyane Faculté des Sciences Exactes et Naturelles

Département de Mathématiques et Informatique, Campus de Fouillole Département Scientifique Interfacultaire, Campus de Schoelcher

DEUG MIAS — Module MIP2 — Mathématiques 2

* * * Examen de septembre 2001 * * *

Durée : 3 heures — Aucun document ni calculatrice autorisés !

NB : La clarté de la rédaction est un élément important dans l’appréciation des copies ! [1 pt]

Partie I : Algèbre Linéaire [9 pts]

Exercice 1. Soit f : ℝ^{3} → ℝ^{4} l’application définie par

f(x, y, z) = (3 x − z, x − y + 2 z, 5 x + 3 y − 4 z) .

(a) Montrer que f est une application linéaire.

(b) On considère la base canonique B = (e_{1}, e_{2}, e_{3}) de l’espace vectoriel ℝ^{3}. Ecrire la matrice A de f dans la base B.

(c) Déterminer ker f. En déduire le rang de f, puis im f.

(d) Déduire de la question précédente que A est une matrice inversible et calculer son inverse A^{−1}.

(e) Déterminer l’application inverse de f que l’on notera f^{−1}.

Exercice 2. Soit f : ℝ^{5} → ℝ^{4} une application linéaire dont la matrice A par rapport aux bases canoniques est donnée par

A = (\begin{matrix}1 & 2 & −1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & −3 & 0 & 2 \\ −3 & 1 & 2 & 2 & −1 \\ 1 & 6 & −3 & 2 & 3 \end{matrix})

Déterminer ker f et im f. Quelle est la dimension de chacun de ces sous-espaces vectoriels ? Justifier votre réponse avec précision.

Partie II : Analyse 2 [11 pts]

Exercice 3. On considère la fraction rationnelle

F (x) = \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} − 1}{x^{2} + 2 x + 3} .

(a) Effectuer la division Euclidienne de 2 x^{3} +4 x^{2} −1 par x^{2} +2 x+3.

(b) En utilisant la question précédente, calculer g(x) = ∫_{0}^{x} F (t) dt pour x ∈ ℝ.

Exercice 4. Résoudre sur ]1, +∞[, l’équation différentielle

(1 − x) y′ + x y = (x − 1)^{2} .  (E)

Exercice 5. Soit f la fonction réelle définie par

f(x) = \frac{x}{ln x} − \frac{1}{x − 1} .

(a) Déterminer le domaine de définition D de f .

(b) i. Donner le développement limité d’ordre 2 au voisinage de 0,

de la fonction g : t ↦ ln(1 + t). ii. Calculer le développement limité d’ordre 1 au voisinage de 0,

de la fonction h : t ↦ t f(1 + t). iii. Calculer lim_{x→1} f(x), puis lim_{x→0} f(x). iv. Montrer que la courbe (C) de f admet au voisinage de +∞,

une branche parabolique de direction (Ox).

(c) Pour tout x > 0 on pose

ϕ(x) = (ln x)^{2} + (x − 1)^{2}(ln x − 1) .

Exprimer la dérivée f′(x) en fonction de ϕ(x), pour tout x ∈ D.

(d) Calculer ϕ′(x) et ϕ′′(x), pour tout x > 0. [On écrira ϕ′′(x) = A(x) + 2 B(x) ln x, où A et B sont des fonctions rationnelles.]

(e) i. Montrer que ϕ′′(x) ≥ 0, pour tout x > 0. ii. En déduire le signe de ϕ′(x), puis les variations de f.

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