Université des Antilles et de la Guyane Faculté des Sciences Exactes et Naturelles Département Scientifique Interfacultaire, Campus de Schoelcher

DEUG MIAS — Module MIP2 — Mathématiques 2

* * * Examen final — juin 2001 * * *

Durée : 3 heures — Aucun document ni calculatrice autorisés !

NB : La clarté de la rédaction est un élément important dans l’appréciation des copies ! [1 pt]

Partie I : Algèbre Linéaire [9 pts]

Exercice 1. On considère les espaces vectoriels ℝ^{3} et ℝ^{4} munis de leurs bases canoniques respectives B = (e_{1}, e_{2}, e_{3}) et C = (ε_{1}, ε_{2}, ε_{3}, ε_{4}). Soit f l’application de ℝ^{3} dans ℝ^{4} définie par

f(x, y, z) = (2 x − y + z, x + y + 2z, −x + 2 y + z, y + z) .

(a) Montrer que f est une application linéaire.

(b) Calculer f(e_{1}), f(e_{2}) et f(e_{3}). En déduire la matrice A de f par rapport aux bases B et C.

(c) i. Déterminer ker f. Quelle est la dimension de ker f ? ii. En déduire que f est de rang 2 et donner une base de im f.

(d) On pose

ε′_{1} = ε_{1} + ε_{2} , ε′_{2} = ε_{2} + ε_{3} , ε′_{3} = ε_{3} + ε_{4} , ε′_{4} = ε_{4} .

i. Ecrire la matrice Q de la famille C′ = (ε′_{1}, ε′_{2}, ε′_{3}, ε′_{4}) dans la

base C. ii. Montrer que Q est inversible et calculer son inverse Q^{−1} par

la méthode de Gauss.

(e) i. Déduire de la question précédente que C′ est une base de ℝ^{4}. ii. Quelle est la matrice A′ de f par rapport aux bases B et C′?

Exercice 2. Etudier le système d’équations linéaires suivant :

(S)  \{ \begin{matrix}2 x − y + z = 1 \\ x + y + 2 z = 2 \\ −x + 2 y + z = 1 \\ y + z = 1 \end{matrix}

(On pourra utiliser les résultats de l’exercice 1.)

Partie II : Analyse 2 [11 pts]

Exercice 3.

(a) En utilisant le changement de variable x = tan t, calculer ∫ \frac{dt}{cos^{2} t}. (On rappelle que 1 + tan^{2} t = \frac{1}{cos^{2} t}.)

(b) Résoudre sur ]−1, 1[ l’équation différentielle

(1 − t^{2}) y′ + (t + 3) y = \frac{(1 − t)^{3}}{cos^{2} t} .

Exercice 4.

(a) Résoudre sur ℝ l’équation différentielle

y′′ − y′ − 2 y = e^{x} (6 x − 1)  (E)

(b) Trouver la solution y_{1} à (E) vérifiant

y_{1}(0) = 1 et lim_{x→−∞} e^{x} y_{1}(x) = 0 .

(On rappelle que si α > 0, alors ∀β ∈ ℝ : lim_{x→−∞} e^{αx}x^{β} = 0.)

Exercice 5. Soit (C) la courbe paramétrée

\{ \begin{matrix}x(t) = −2 t + e^{2 t} \\ y(t) = 2 + t^{2} − \frac{1}{2}t^{4} \end{matrix} ∀t ∈ ℝ .

(a) Montrer que (C) admet un point stationnaire, puis déterminer sa nature.

(b) Etudier les branches infinies (arc infinis) de (C).

(c) Etablir le tableau de variations des applications coordonnées x et y.

(d) i. Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) en M(0). ii. Calculer le DL_{3}(0) de f(t) = \frac{1}{2} + t + t^{2} − \frac{1}{2}t^{4} − \frac{1}{2}e^{2 t}. iii. Donner la position de (C) par rapport à (T) au voisinage de

M(0).

(e) Tracer soigneusement la courbe (C), en admettant l’existence d’un unique point double de (C), situé sur l’arc entre M(0) et M(1). (Prendre e^{2} = 7,4 et e^{−2} = 0,15.)

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