Université Antilles–Guyane DEUG MIAS/MASS UFR Sciences Exactes et Naturelles Module MIP2/MIE2 Dépt de Mathématiques et d’Informatique Dépt Scientifique Interfacultaire 2^{e} semestre 2002

Examen de Mathématiques 2, deuxième session — septembre 2002

Durée : 3 heures — Documents, calculatrices et téléphones interdits.

N.B.: Le soin apporté à la rédaction est un élément d’appréciation important!

Première partie : Analyse [10 pts]

Exercice 1. Déterminer la décomposition en éléments simples de la fraction ra- [1.5 pts] tionnelle suivante :

f(x) = \frac{x^{3}}{(1 − x) (2 − x) (3 − x)} .

Exercice 2. On considère l’équation différentielle [2.5 pts]

y′′ − 3 y′ + 2 y = sin 2x .  (E)

(a) Trouver la solution générale de (E).

(b) Déterminer la solution y_{0} de (E) telle que y_{0}(0) = 0 et y′_{0}(0) = 0 .

Exercice 3. On considère la fonction numérique définie sur ]0, \frac{π}{2} [ par [6.0 pts]

f(x) = \frac{−x^{2}}{ln(cos x)} .

(a) Donner le développement limité d’ordre quatre (4) au voisinage de zéro des fonctions x ↦ cos x, x ↦ ln(1 + x), et x ↦ ln(cos x).

(b) Calculer le développement limité d’ordre deux (2) au voisinage de zéro de f.

(c) En déduire que f admet un prolongement par continuité en 0, noté f̃.

(d) Justifier par les résultats précédents l’existence et la valeur de f̃′(0).

(e) Donner une équation de la tangente au graphe de f̃ en x = 0.

(f) On pose φ(x) = 2 ln(cos x) + x tan x. Calculer φ′(x) et φ′′(x) pour x ∈ ]0, \frac{π}{2} [.

(g) En déduire le signe de φ(x), puis les variations de f̃.

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Deuxième partie : Algèbre Linéaire [10 pts]

Exercice 4. (Questions de cours.)

(a) Soit E un espace vectoriel de dimension n ≥ 1 et S une famille de p [1.5 pts] vecteurs de E. Que peut-on dire de n et p dans chacun des cas suivants : i. S est une famille libre, ii. S est une famille génératrice, iii. S est une base de E.

(b) Soient E et F deux 𝕂-espaces vectoriels de dimension finie tels que [1.0 pts] dim E = dim F, et f une application linéaire de E dans F. Que peut-on dire de f dans chacun des cas suivants : i. f est injective, ii. f est surjective.

Exercice 5. On considère les ℝ–e.v. ℝ^{3} et ℝ^{4} munis de leurs bases canoniques [5.0 pts] B = (e_{1}, e_{2}, e_{3}) et E = (ε_{1}, ε_{2}, ε_{3}, ε_{4}), et g ∈ L(ℝ^{4}, ℝ^{3}) donnée par la matrice

G = Mat_{E,B}(g) = ( \begin{matrix}3 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ −2 & −1 & −1 & −2 \end{matrix} ) .

(a) Déterminer ker g et en déduire rang g et im g.

(b) Montrer que f : ℝ^{3} → ℝ^{3} , (x, y, z) ↦ (x + y + z, y, −2x − 3y − 3z)

est une application linéaire, et donner sa matrice F dans la base B.

(c) Calculer la matrice A de f ∘ g par rapport aux bases E et B.

(d) Déduire que f est bijective et déterminer la fonction réciproque f^{−1}.

Exercice 6. Résoudre (par la méthode de Gauss) le système linéaire [2.5 pts]

\{ \begin{matrix}x + y + z + v + w = & 1 \\ x − y + z − v + w = & −1 \\ x + y − z − v + w = & 1 \\ x − y − z + v + w = & −1 \\ x − y − z − v + w = & α \end{matrix} ,

en fonction de la valeur du paramètre α ∈ ℝ.

∗ ∗ ∗ 𝔉 𝔦 𝔫 ∗ ∗ ∗