Université Antilles–Guyane DEUG MIAS UFR Sciences Exactes et Naturelles Module MIP2 Dépt de Mathématiques et d’Informatique Dépt Scientifique Interfacultaire 2^{e} semestre 2003

Examen de Mathématiques 2 — mai 2003

Durée : 3 heures — Documents, calculatrices et téléphones interdits.

Première partie : Analyse

NB : TRAITER UN SEUL, AU CHOIX, PARMI LES EXERCICES 1 ET 2 !

Exercice 1. On considère la fonction numérique f : x ↦ \frac{cos x}{sin x + cos x}.

(a) Donner le domaine de définition de f.

(b) Rappeler les conditions vérifiées par x ↦ tan x, autorisant le changement de variables t = tan x sur l’intervalle I = ]−\frac{π}{4}, \frac{π}{4}[. Effectuer ce changement de variables pour exprimer ∫ f(x) dx (sur I) en termes d’une intégrale indéfinie d’une fraction rationnelle.

(c) Trouver une primitive de la fraction rationnelle

g(t) = \frac{1}{(1 + t)(1 + t^{2})} ,

en précisant son domaine de définition.

(d) Déduire, de ce qui précède, une primitive de f sur I.

Exercice 2. On se propose dans cet exercice de comparer les developpements limités d’ordre 4 en 0 des fonctions

f : x ↦ \frac{1}{1 + tan x} et F : x ↦ \frac{x}{2} + \frac{1}{4} ln(1 + sin 2x) .

(a) Retrouver le DL_{4}(0) de x ↦ tan x à partir du DL_{4}(0) de x ↦ sin x et du DL_{3}(0) de x ↦ cos x. En utilisant le DL_{4}(0) de t ↦ \frac{1}{1+t}, déterminer enfin le DL_{4}(0) de f donnée ci-dessus.

(b) Rappeler le DL_{4}(0) de t ↦ ln(1 + t), puis calculer le DL_{4}(0) de F.

(c) Comparer les DL_{4}(0) des fonctions f et F. Que peut-on remarquer ? Est-ce que cela permet de déduire une relation entre f et F en dehors du voisinage de 0 ? (Justifiez votre réponse !)

(d) Vérifier qu’on a F′ = f et (sin x+cos x)^{2} = 1+sin(2x) = \frac{(1 + tan x)^{2}}{1 + tan^{2} x}.

Exercice 3. (a) Résoudre, sur I = ]−\frac{π}{4}, \frac{π}{4}[, l’équation différentielle

(sin x + cos x) y′ − (cos x) y = (sin x + cos x)^{\frac{3}{2}} .  (E)

(On peut utiliser le résultat du (2d).)

(b) Quelle est la solution de (E), notée f, vérifiant f(0) = −1 ?

Tournez la page, S.V.P. ! ⟹ Exercice 4. Déterminer les points doubles (ou multiples) et la nature des points

stationnaires de la courbe paramétrée

(C) : \{ \begin{matrix}x = sin t − cos t \\ y = 1 + sin 2t \end{matrix} , t ∈ ℝ .

Deuxième partie : Algèbre linéaire

Exercice 5. (Questions de cours.) (Justifiez vos réponses !)

(a) Soit f ∈ L(ℝ^{4}; ℝ^{3}). Est-ce que f peut être injective ? surjective ?

(b) Soit { v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4} } ⊂ ℝ^{4} tel que f(v_{1}) = (1, 1, 1), f(v_{2}) = (1, 2, 3), f(v_{3}) = (0, 1, 2), f(v_{4}) = (0, 0, 1). Déterminer le rang de f, ainsi que la dimension de son noyau, ker f.

(c) Que peut-on dire des familles (v_{2}, v_{3}, v_{4}), (v_{1}, v_{2}, v_{4}), (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ? Est-ce que la famille (v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}) peut être une base de ℝ^{4} ?

(d) Montrer que vect { v_{2}, v_{3}, v_{4} } est un supplémentaire de ker f. Au cas ou v_{1} ∉ vect { v_{2}, v_{3} }, donner une base de ker f.

Exercice 6. Dans l’espace vectoriel E = ℝ_{3}[X] des polynômes réels de degré inféreur ou égal à 3, on considère les polynômes

\begin{matrix}P_{1} = (X − 2) (X − 3) (X − 4) , P_{2} = (X − 1) (X − 3) (X − 4) , \\ P_{3} = (X − 1) (X − 2) (X − 4) , P_{4} = (X − 1) (X − 2) (X − 3) . \end{matrix}

(a) Montrer que la famille F = (P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}) est libre.

(Considérer ∑ λ_{i}P_{i}(x) pour x = 1, 2, 3, 4.) Peut-on déduire que c’est une base de E?

(b) Calculer Δ_{ij} = P_{i} − P_{j} pour (ij) ∈ { 21, 31, 41, 32, 42, 43 } (sans développer les produits).

(c) On admettra que l’opérateur dérivée, D : ∑_{k=0}^{3} a_{k}X^{k} ↦ ∑_{k=1}^{3} ka_{k}X^{k−1},

est un endomorphisme de ℝ_{3}[X]. Déterminer A = Mat_{F} D, la matrice de D dans la base (P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}). (Calculer D(P_{i}) sans développer les produits, et l’exprimer en termes des Δ_{ij} du (6b).)

(d) Trouver les solutions du système linéaire

( \begin{matrix}−11 & −6 & −3 & −2 \\ 6 & −3 & −6 & −3 \\ 3 & 6 & 3 & −6 \\ 2 & 3 & 6 & 11 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \\ t \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}6 \\ −6 \\ −6 \\ 6 \end{matrix} ) .

(On peut utiliser la méthode de Gauss, ou étudier l’équation correspondante dans E = ℝ_{3}[X], auquel cas on pourra considérer les combinaisons linéaires \frac{1}{3}Δ_{41} ± Δ_{32}.)

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