Université Antilles–Guyane DEUG MIAS 1^{e} année UFR Sciences Exactes et Naturelles Module MIP2 Dépt Scientifique Interfacultaire 2^{e} semestre 2003-2004

Algèbre Linéaire — Travaux Dirigés, série 6 : Systèmes linéaires ; Calcul matriciel (suite)

Exercice 0. Revoir les définitions et théorèmes du cours.

• Système linéaire (S) à n équations, p inconnues (x_{1}, ..., x_{p}) ∈ 𝕂^{p} : A X = B A ∈ M_{n,p}(𝕂), X = Mat_{e}(x), B ∈ M_{n,1}(𝕂) ⟺ f(x) = b, f ∈ L(𝕂^{p}; 𝕂^{n}).

• solutions : S = f^{−1}({b}) ; système incompatible : S = ∅ ⟺ b ∉ im f ; sinon S = x^{∘} + ker f avec x^{∘} une solution particulière : f(x^{∘}) = b.

• rang(S) := rg A = rg f ; le s.e.v. S_{o} = ker f de dim S_{o} = p − rang(S) constitue l’ensemble des solutions du système homogène (b = o).

• Système de Cramer : rang(S) = n = p ⟺ f ∈ Iso(𝕂^{p}; 𝕂^{n}) ; admet une solution unique x = f^{−1}(b) ⟺ X = A^{−1}B.

• Résolution : réduite de Gauss de (A|B) ⟹ système de Cramer de r = rang(S) équations principales pour r inconnues principales (autres inconnues dans membre de droite, autres équations 0 = 0 sinon S = ∅) ; solution s’écrit alors x = x^{∘} + λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{k}v_{k} avec λ_{1}, ..., λ_{k} ∈ 𝕂 arbitraires (inconnues non principales), (v_{1}, ..., v_{k}) base de S_{o}.

Exercice 1. Résoudre par la méthode du pivot de Gauss les systèmes suivants :

* (a) dans ℝ^{3} :

\{ \begin{matrix}3 x & − & 5 y & + & 2 z & = & a \\ 5 x & − & 9 y & + & 7 z & = & b \\ 4 x & − & 8 y & + & 10 z & = & c \end{matrix} en fonction de (a, b, c) ∈ ℝ^{3}

(b) dans ℝ^{4} :

\{ \begin{matrix}7 x & + & 8 y & + & 3 z & + & 9 t & = & 4 \\ −x & + & y & − & 3 z & + & 5 t & = & 3 \\ 8 x & + & 9 y & + & 6 z & + & 5 t & = & 2 \\ & − & 8 y & + & z & − & 6 t & = & 1 \end{matrix}

* Exercice 2. Résoudre et discuter suivant les valeurs du paramètre réel a le système :

\{ \begin{matrix}a x & + & y & + & z & = & a \\ x & + & a y & + & z & = & a \\ x & + & y & + & a z & = & a \end{matrix}

Exercice 3. Soient u = (1, 1, 2), v = (1, −1, 1), w = (1, 5, 4) trois vecteurs du ℝ–espace vectoriel ℝ^{3}. Trouver les conditions sur (a, b, c) ∈ ℝ^{3} pour qu’il existe (x, y, z) ∈ ℝ^{3} tel que xu + yv + zw = (a, b, c).

Exercice 4. Résoudre le système

\{ \begin{matrix}−x & − & 6 y & + & 8 z & + & 5 t & + & 3 u & = & −6 \\ 2 x & − & 5 y & + & 5 z & − & 2 t & − & 3 u & = & 3 \\ 3 x & + & 9 y & + & 9 z & + & t & + & 5 u & = & −4 \\ x & − & 9 y & − & 5 z & − & 6 t & − & 9 u & = & 10 \end{matrix}

Matrices et applications linéaires (suite) ; changements de base

Exercice 5. Soit E = (e_{1}, e_{2}, e_{3}) la base canonique de ℝ^{3} et f l’endomorphisme de ℝ^{3} défini par

A = Mat_{E}(f) := Mat_{E,E}(f) = ( \begin{matrix}4 & 2 & 1 \\ −6 & −5 & −6 \\ 3 & 3 & 4 \end{matrix} ) .

(a) Calculer f(b_{i}) pour b_{1} = (1, −2, 1), b_{2} = (0, 2, −1) et b_{3} = (0, 0, 1).

(b) i. Démontrer que B = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) est une base de ℝ^{3}.

ii. Déterminer T = Mat_{B}(f). En déduire que f est bijective.

(c) i. Calculer N^{2} pour N = ( \begin{matrix}0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & −2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ). En déduire N^{k} pour k ≥ 2.

ii. Soit n ∈ ℕ. Calculer T^{n} en termes de N, puis explicitement (en fonction de n). Exprimer A en termes de T, et en déduire A^{n}.

Exercice 6. Dans M_{2}(ℝ) on considère l’application φ qui à M = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} )

associe φ(M) = ( \begin{matrix}a − b & d − c \\ c − d & b − a \end{matrix} ).

(a) Montrer que φ est un endomorphisme.

(b) Touver la matrice de φ dans la base canonique de M_{2}(ℝ).

(c) Donner des bases F, K des sous-espaces F = im φ et K = ker φ.

(d) Ecrire la matrice de φ̃ ∈ L(F) : M ↦ φ(M) dans la base F de F.

Exercice 7. Dans E = ℝ_{1}[X], on considère les polynômes P_{1} = X + 1 et P_{2} = 1 − X. Montrer qu’ils forment une base de E. Ecrire la matrice M de l’application linéaire D : P ↦ P′ dans cette base (où P′ désigne la dérivée de P). Montrer de deux façons différentes que M^{2} = 0.

Exercice 8. (a) Soit b_{1} = (2, 3, −5), b_{2} = (1, 2, −3), b_{3} = (3, −4, −2). Montrer

que (b) = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) est une base de ℝ^{3}.

(b) Soit U l’endomorphisme de ℝ^{3} défini par U(x, y, z) = (3 y − 5 z, 3 x − y − 3z, 2 x + y). Trouver la matrice de U dans la base (b).

(c) Soit (f_{1}, f_{2}) la base canonique de ℝ^{2}, soit w_{1} = f_{1} − f_{2} ; w_{2} = f_{1} + f_{2}.

Vérifier que (w) = (w_{1}, w_{2}) est une base de ℝ^{2}.

* (d) Soit V ∈ L(ℝ^{3}, ℝ^{2}) définie par V (x, y, z) = (2 x − y + z, x − 4 y − 2 z). Trouver la matrice de V par rapport aux bases (b) et (w).

Exercice 9. Dans ℝ^{3} muni de sa base canonique (e_{1}, e_{2}, e_{3}), on considère la famille (u, v, w) avec u = (−1, 1, 1) ; v = (1, −1, 1) ; w = (1, 1, −1).

(a) Calculer les coordonnées (x, y, z) du vecteur ξ u+η v +ζ w dans la base canonique en fonction de ξ, η, ζ.

(b) Démontrer que (u, v, w) est une base de ℝ^{3} et calculer les coordonnées (ξ, η, ζ) du vecteur x e_{1} + y e_{2} + z e_{3} dans la base (u, v, w).