Université Antilles–Guyane DEUG MIAS 1^{e} année UFR Sciences Exactes et Naturelles Module MIP2 Dépt Scientifique Interfacultaire 2^{e} semestre 2003-2004

Algèbre Linéaire — Travaux Dirigés, série 5 : Calcul matriciel

Exercice 0. Revoir les définitions et résultats du cours :

• Matrice n×p, ligne, colonne, carrée d’ordre n, transposée, (anti)symétrique, triangulaire supérieure et inférieure, diagonale, scalaire, unité (= identité).

• Matrice d’une famille Mat_{B}(u_{1}, ..., u_{p}), d’une application linéaire Mat_{B,C}(f), matrice de passage, réduite de Gauss / Gauss-Jordan d’une matrice.

• Produit de deux matrices A et B : associatif et bilinéaire ; ^{t}(AB) = ^{t}B^{t}A; matrices inversibles : GL_{n}(𝕂) ; (AB)^{−1} = B^{−1}A^{−1}.

• Rang d’une matrice, rg A = rg^{t}A, invariant sous opérations élémentaires (lignes et colonnes) ; A inversible ssi rg A = n = p ssi A matrice d’une base ssi A matrice d’un isomorphisme.

• Image d’un vecteur x : Mat_{C} f(x) = Mat_{B,C} f · Mat_{B} x, idem pour famille ; d’où base de im f à partir des colonnes de Mat f. Mat(f ∘ g).

• ker f à partir de la réduite de Gauss-Jordan de Mat f : supprimer lignes nulles et insérer lignes ℓ_{i} = (−δ_{ij})_{j} pour obtenir matrice carrée avec ±1 sur la diagonale : colonnes des −1 donnent alors base de ker f.

* Exercice 1. On considère les matrices suivantes : A = ( 2 5 −1 ) ,

B = ( \begin{matrix}3 \\ 1 \end{matrix} ) , C = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ −1 & −3 \\ 0 & −2 \end{matrix} ) , D = ( \begin{matrix}4 & −3 \\ −3 & 1 \end{matrix} ) , E = ( \begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ −4 & 0 & −2 \\ 4 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

(a) Quels sont les produits matriciels possibles ? En calculer au moins cinq.

(b) Parmi les matrices A, B, C, D, E et leurs produits, lesquelles sont carrées et lesquelles sont symétriques ?

Exercice 2. (a) Montrer que l’ensemble A_{n}(𝕂) des matrices carrées antisymé-

triques d’ordre n est un 𝕂–espace vectoriel.

(b) Le produit de deux matrices antisymétriques est-il (anti-)symétrique ?

Exercice 3. Montrer que les matrices symétriques et antisymétriques sont des s.e.v. supplémentaires dans M_{n}(ℂ). (Indication : considérer \frac{1}{2}(A ± ^{t}A).)

Exercice 4. Soient A, B ∈ M_{n}(𝕂) tels que A · B = 0. Si l’une des matrices est non-nulle, montrer (par l’absurde) que l’autre n’est pas inversible.

* Exercice 5. Calculer le produit de A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) avec Ã = ( \begin{matrix}d & −b \\ −c & a \end{matrix} ).

En déduire A^{−1} lorsque le déterminant det(A) =^{def} ad − bc est non-nul.

Exercice 6. Soit n ∈ ℕ^{∗}. La base canonique de M_{n}(ℝ) est la famille (E_{ij})_{i,j=1...n}

des matrices E_{ij} ayant tous les éléments nuls sauf celui situé sur la i^{e} ligne dans la j^{e} colonne, qui vaut 1. Ainsi toute matrice A = (a_{ij}) ∈ M_{n}(ℝ)

s’écrit de façon unique A = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} a_{ij} E_{ij} . (1)

(a) Montrer que

E_{ij} · E_{kℓ} = \{ \begin{matrix}0 & si & j ≠ k \\ E_{iℓ} & si & j = k \end{matrix} .

(b) Calculer et interpréter les produits A · E_{ij} et E_{ij} · A.

(c) Pour λ ∈ ℝ on pose P_{ij}(λ) = I + λE_{ij} (I = I_{n} = matrice unité). Déduire du (6b) une interprétation des produits A · P_{ij}(λ) et P_{ij}(λ) · A.

(d) Déduire de la question précédente une expression de la matrice inverse de P_{ij}(λ), c’est-à-dire Q ∈ M_{n}(ℝ) t.q. P_{ij}(λ) · Q = Q · P_{ij}(λ) = I, et confirmer le résultat par calcul explicite, en développant ces produits.

* Exercice 7. Soit E l’ensemble des matrices de M_{3}(ℝ) de la forme

M(a, b, c) = ( \begin{matrix}a − c & −b & c \\ −b & a − 2c & b \\ c & b & a − c \end{matrix} ) , (a, b, c) ∈ ℝ^{3} .

(a) Montrer que M(a, b, c) peut s’écrire M(a, b, c) = aI + bJ + cK où I = I_{3}, J et K étant indépendants de a, b et c. En déduire que E est un ℝ–espace vectoriel dont on donnera la dimension.

(b) Calculer J^{2}, JK, KJ, K^{2} en fonction de I, J et K. En déduire que E est stable pour la multiplication matricielle.

Inversion de matrices, Méthode de Gauss

* Exercice 8. Soit A = ( \begin{matrix}4 & −2 & 2 \\ 6 & −4 & 6 \\ 5 & −5 & 7 \end{matrix} ). Calculer A^{2}. Trouver λ ∈ ℝ tel que A^{2} −

λ A soit scalaire. En déduire que A est inversible et calculer A^{−1}.

Exercice 9. Rappelons qu’une opération élémentaire sur les lignes d’une matrice correspond à la multiplication à gauche par une matrice inversible P.

(a) Supposons connue une suite de telles opérations (correspondantes à P_{1}, ..., P_{k} ∈ GL_{n}(𝕂))) qui, appliquées à A ∈ M_{n}(𝕂), donnent la matrice unité I = I_{n}. Déduire l’inverse de A en terme des P_{i}.

(b) Qu’obtient-on en appliquant les mêmes opérations à la matrice I_{n}? En déduire une méthode pour calculer l’inverse d’une matrice. (Disposition pratique : on travaille sur la � matrice étendue � (A | I).)

* (c) Application : inverse des matrices suivantes ?

A = ( \begin{matrix}1 & −2 & 3 \\ 0 & 1 & −4 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}1 & 4 & 0 \\ 2 & −1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) , C = ( \begin{matrix}−3 & 4 & −4 & 0 \\ 1 & −4 & 0 & −13 \\ 1 & −3 & 0 & −6 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \end{matrix} ) , D = ( \begin{matrix}8 & −5 & −2 & 5 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & −2 & −2 \\ −1 & −2 & −2 & 4 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & −4 & −3 \\ −1 & −1 & −2 & 4 & 5 \end{matrix} )