Université Antilles–Guyane DEUG MIAS 1^{e} année UFR Sciences Exactes et Naturelles Module MIP2 Dépt Scientifique Interfacultaire 2^{e} semestre 2002-2003

Algèbre Linéaire — Travaux Dirigés^{(∗)}, série 5 : Calcul matriciel

(RP) Exercice 44. Revoir les définitions du cours :

• Matrice n×p, ligne, colonne, carrée d’ordre n, triangulaire supérieure et inférieure, diagonale, scalaire, unité (= identité), (anti)symétrique, transposée.

• Produit de deux matrices A et B; matrices inversibles : GL_{n}(𝕂).

• Matrice d’une famille Mat_{B}(u_{1}, ..., u_{p}), d’une application linéaire Mat_{B,C}(f), matrice de passage, rang d’une matrice, réduite de Gauss d’une matrice.

(RP) Exercice 45. Revoir les résultats du cours :

• Produit de matrices associatif et bilinéaire ; ^{t}(AB) = ^{t}B^{t}A; rg A = rg^{t}A invariant sous opérat^{∘} élém. (lignes et colonnes) ; A inversible ssi rg A = n = p ssi matrice d’une base ssi matrice d’un isomorphisme ; (AB)^{−1} = B^{−1}A^{−1}.

• Image d’un vecteur x : Mat_{C} f(x) = Mat_{B,C} f · Mat_{B} x, idem pour famille ; d’où base de im f à partir des colonnes de Mat f.

• ker f à partir de la réduite de Gauss de f : insérer lignes ℓ_{i} = (−δ_{ij})_{j} (et supprimer lignes nulles) pour obtenir matrice carrée avec ±1 sur la diagonale, colonnes des −1 donnent alors base de ker f.

(AD) Exercice 46. On considère les matrices suivantes : A = ( 3 2 1 ) ,

B = ( \begin{matrix}2 \\ −1 \end{matrix} ) , C = ( \begin{matrix}3 & 1 \\ 0 & −2 \\ 1 & 3 \end{matrix} ) , D = ( \begin{matrix}−3 & 2 \\ 2 & 0 \end{matrix} ) , E = ( \begin{matrix}−2 & 0 & 1 \\ −3 & −2 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \end{matrix} ) .

(a) Quels sont les produits matriciels possibles ? En calculer au moins cinq.

(b) Parmi les matrices A, B, C, D, E et leurs produits, lesquelles sont carrées et lesquelles sont symétriques ?

(AD) Exercice 47. (a) Montrer que l’ensemble A_{n}(𝕂) des matrices carrées antisymé-

triques d’ordre n est un 𝕂–espace vectoriel.

(b) Le produit de deux matrices antisymétriques est-il (anti-)symétrique ?

(EX) Exercice 48. Montrer que les matrices symétriques et antisymétriques sont des s.e.v. supplémentaires dans M_{n}(ℂ). (Indication : considérer \frac{1}{2}(A ± ^{t}A).)

(EX) Exercice 49. Soient A, B ∈ M_{n}(𝕂) tels que A · B = 0. Si l’une des matrices est non-nulle, montrer (par l’absurde) que l’autre n’est pas inversible.

(AD) Exercice 50. Calculer le produit de A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) avec Ã = ( \begin{matrix}d & −b \\ −c & a \end{matrix} ).

En déduire A^{−1} lorsque le déterminant det(A) =^{def} ad − bc est non-nul.

(∗) RP = révision du cours / préparation du T.D. (obligatoire; revu en T.D. seulement sur

demande !) ; AD = application directe du cours ; EX = exercice ; PB = problème.

(EX) Exercice 51. Soit n ∈ ℕ^{∗}. La base canonique de M_{n}(ℝ) est la famille (E_{ij})_{i,j=1...n}

des matrices E_{ij} ayant tous les éléments nuls sauf celui situé sur la i^{e} ligne dans la j^{e} colonne, qui vaut 1. Ainsi toute matrice A = (a_{ij}) ∈ M_{n}(ℝ)

s’écrit de façon unique A = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} a_{ij} E_{ij} . (1)

(a) Montrer que

E_{ij} · E_{kℓ} = \{ \begin{matrix}0 & si & j ≠ k \\ E_{iℓ} & si & j = k \end{matrix} .

(b) Calculer et interpréter les produits A · E_{ij} et E_{ij} · A.

(c) Pour λ ∈ ℝ on pose P_{ij}(λ) = I + λE_{ij} (I = I_{n} = matrice unité). Déduire du (51b) une interprétation des produits A · P_{ij}(λ) et P_{ij}(λ) · A.

(d) Déduire de la question précédente une expression de la matrice inverse de P_{ij}(λ), c’est-à-dire Q ∈ M_{n}(ℝ) t.q. P_{ij}(λ) · Q = Q · P_{ij}(λ) = I, et confirmer le résultat par calcul explicite, en développant ces produits.

(EX) Exercice 52. Soit E l’ensemble des matrices de M_{3}(ℝ) de la forme

M(a, b, c) = ( \begin{matrix}a + c & b & −c \\ b & a + 2c & −b \\ −c & −b & a + c \end{matrix} ) , (a, b, c) ∈ ℝ^{3} .

(a) Montrer que M(a, b, c) peut s’écrire M(a, b, c) = aI + bJ + cK où I = I_{3}, J et K étant indépendants de a, b et c. En déduire que E est un ℝ–espace vectoriel dont on donnera la dimension.

(b) Calculer J^{2}, JK, KJ, K^{2} en fonction de I, J et K. En déduire que E est stable pour la multiplication matricielle.

Inversion de matrices, Méthode de Gauss

(AD) Exercice 53. Soit A = ( \begin{matrix}4 & 6 & 5 \\ −2 & −4 & −5 \\ 2 & 6 & 7 \end{matrix} ). Calculer A^{2}. Trouver λ ∈ ℝ tel que

A^{2} − λ A soit scalaire. En déduire que A est inversible et calculer A^{−1}.

(EX) Exercice 54. Rappelons qu’une opération élementaire sur les lignes d’une matrice correspond à la multiplication à gauche par une matrice inversible P.

(a) Supposons connue une suite d’opérations (soit P_{1}, ..., P_{k} ∈ GL_{n}(𝕂))) qui, appliquées à A ∈ M_{n}(𝕂), donnent la matrice unité I = I_{n}. Déduire l’inverse de A en terme des P_{i}.

(b) Qu’obtient-on en appliquant les mêmes opérations à la matrice I_{n}? En déduire une méthode pour calculer l’inverse d’une matrice. (Disposition pratique : on travaille avec la matrice étendue (A|I).)

(c) Application : inverse des matrices suivantes ?

A = ( \begin{matrix}1 & −4 & 2 \\ 0 & 1 & −3 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}2 & 1 & 3 \\ 1 & −1 & 1 \\ −1 & 4 & 0 \end{matrix} ) , C = ( \begin{matrix}0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & −2 & −3 & 3 \\ 3 & 1 & 3 & 4 \end{matrix} ) , D = ( \begin{matrix}3 & 2 & 2 & 4 & 0 \\ 4 & 5 & −5 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & −5 & 3 & 0 \\ 4 & −4 & 0 & −1 & −5 \\ 0 & 5 & −2 & 3 & 4 \end{matrix} )

Matrices et applications linéaires ; changements de base

(EX) Exercice 55. Soit E = (e_{1}, e_{2}, e_{3}) la base canonique de ℝ^{3} et f l’endomorphisme de ℝ^{3} défini par

A = Mat_{E}(f) := Mat_{E,E}(f) = ( \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 12 & 5 \\ −2 & −22 & −9 \end{matrix} )

(a) Calculer f(b_{i}) pour b_{1} = (1, −1, 2), b_{2} = (0, −2, 4) et b_{3} = (0, 0, 1).

(b) i. Démontrer que B = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) est une base de ℝ^{3}.

ii. Déterminer T = Mat_{B}(f). En déduire que f est bijective.

(c) i. Calculer N^{2} pour N = ( \begin{matrix}0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & −3 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ). En déduire N^{k} pour k ≥ 2.

ii. Soit n ∈ ℕ. Calculer T^{n} en fonction de n et N, puis en fonction de n uniquement. En déduire A^{n} en fonction de n.

(EX) Exercice 56. Dans M_{2}(ℝ) on considère l’application φ qui à M = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} )

associe φ(M) = ( \begin{matrix}a − b & d − c \\ c − d & b − a \end{matrix} ).

(a) Montrer que φ est un endomorphisme.

(b) Touver la matrice de φ dans la base canonique de M_{2}(ℝ).

(c) Donner des bases F, K des sous-espaces F = im φ et K = ker φ.

(d) Ecrire la matrice de φ̃ ∈ L(F) : M ↦ φ(M) dans la base F de F.

(EX) Exercice 57. Dans E = ℝ_{1}[X], on considère les polynômes P_{1} = X + 1 et P_{2} = 1 − X. Montrer qu’ils forment une base de E. Ecrire la matrice M de l’application linéaire D : P ↦ P′ dans cette base (où P′ désigne la dérivée de P). Montrer de deux façons différentes que M^{2} = 0.

(AD) Exercice 58.

(a) Soit b_{1} = (5, 3, −3), b_{2} = (5, 0, −1), b_{3} = (2, 1, −1). Montrer que (b) = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) est une base de ℝ^{3}.

(b) Soit U l’endomorphisme de ℝ^{3} défini par U(x, y, z) = (5 y − 3 z, x − 3 y − 3z, 2 y + z). Trouver la matrice de U dans la base (b).

(c) Soit (f_{1}, f_{2}) la base canonique de ℝ^{2}, soit w_{1} = f_{1} + f_{2} ; w_{2} = f_{1} − f_{2}.

Vérifier que (w) = (w_{1}, w_{2}) est une base de ℝ^{2}.

* (d) Soit V ∈ L(ℝ^{3}, ℝ^{2}) définie par V (x, y, z) = (x − 4 y + 3 z, 2 x − 4 y − z).

Trouver la matrice de V par rapport aux bases (b) et (w).

Exercice 59. Dans ℝ^{3} muni de sa base canonique (e_{1}, e_{2}, e_{3}), on considère la famille (u, v, w) avec u = (1, 1, −1) ; v = (1, −1, 1) ; w = (−1, 1, 1).

(a) Calculer les coordonnées (x, y, z) du vecteur ξ u+η v +ζ w dans la base canonique en fonction de ξ, η, ζ.

(b) Démontrer que (u, v, w) est une base de ℝ^{3} et calculer les coordonnées (ξ, η, ζ) du vecteur x e_{1} + y e_{2} + z e_{3} dans la base (u, v, w).

Université Antilles–Guyane DEUG MIAS 1^{e} année UFR Sciences Exactes et Naturelles Module MIP2 Dépt Scientifique Interfacultaire 2^{e} semestre 2002-2003

Algèbre Linéaire — Travaux Dirigés^{(∗)}, série 6 : Systèmes linéaires

(RP) Exercice 60. Revoir les définitions et théorèmes du cours.

• Système linéaire (S) à n équations, p inconnues (x_{1}, ..., x_{p}) ∈ 𝕂^{p} : A X = B A ∈ M_{n,p}(𝕂), X = Mat_{e}(x), B ∈ M_{n,1}(𝕂) ⟺ f(x) = b, f ∈ L(𝕂^{p}; 𝕂^{n}).

• solutions : S = f^{−1}({b}) ; système incompatible : S = ∅ ⟺ b ∉ im f ; sinon S = x^{∘} + ker f avec f(x^{∘}) = b une solution particulière.

• rang(S) := rg A = rg f ; le s.e.v. S_{o} = ker f de dim S_{o} = p − rang(S) constitue l’ensemble des solution au système homogène (b = o).

• Système de Cramer : rang(S) = n = p ⟺ f ∈ Iso(𝕂^{p}; 𝕂^{n}) ; admet une solution unique x = f^{−1}(b) ⟺ X = A^{−1}B.

• Résolution : réduite de Gauss de (A|B) ⟹ système de Cramer de r = rang(S) équations principales pour r inconnues principales (autres inconnues dans membre de droite, autres équations 0 = 0 sinon S = ∅) ; solution s’écrit alors x = x^{∘} + λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{k}v_{k} avec λ_{1}, ..., λ_{k} ∈ 𝕂 arbitraires (inconnues non principales), (v_{1}, ..., v_{k}) base de S_{o}.

Exercice 61. Résoudre par la méthode du pivot de Gauss les systèmes suivants :

* (a) dans ℝ^{3} :

\{ \begin{matrix}3 x & + & 5 & y & + & 9 & z & = & a \\ 6 x & − & 9 & y & + & 7 & z & = & b \\ 5 x & − & 2 & y & + & 9 & z & = & c \end{matrix} en fonction de (a, b, c) ∈ ℝ^{3}

(b) dans ℝ^{4} :

\{ \begin{matrix}x & + & 2 y & & & + & 2 t & = & 1 \\ −x & − & y & + & z & − & t & = & −2 \\ 2 x & + & y & − & z & + & 2 t & = & 3 \\ −x & + & 3 y & + & z & − & 2 t & = & 4 \end{matrix}

Exercice 62. Résoudre et discuter suivant les valeurs du paramètre réel a le système :

\{ \begin{matrix}(a − 1)x & + & y & + & z & = & a^{2} + a \\ x & + & (a − 1)y & + & z & = & a^{3} + a^{2} \\ x & + & y & + & (a − 1)z & = & a^{4} + a^{3} \end{matrix}

Exercice 63. Soient u = (1, 3, 2), v = (1, −1, 1), w = (1, 7, 3) trois vecteurs de ℝ^{3}. Trouver les conditions sur (a, b, c) ∈ ℝ^{3} pour qu’il existe (x, y, z) ∈ ℝ^{3} tel que xu + yv + zw = (a, b, c).

* Exercice 64. Résoudre le système

\{ \begin{matrix}& & y & − & z & + & 5t & − & 2u & = 1 \\ 2x & + & y & + & 2z & + & 4t & + & u & = 4 \\ 2x & & & + & 3z & − & t & + & 3u & = 3 \\ x & + & 3y & & & + & 4t & − & 3u & = 3 \end{matrix}

(∗) RP = révision du cours / préparation du T.D. (obligatoire; revu en T.D. seulement sur

demande !) ; AD = application directe du cours ; EX = exercice ; PB = problème.