Université Antilles–Guyane DEUG MIAS 1^{e} année UFR Sciences Exactes et Naturelles Module MIP 2 Dépt Scientifique Interfacultaire 2^{e} semestre 2001–2002

Mathématiques 2 / Analyse — T.D. série n^{o} 4 : Courbes paramétrées.

Exercice 1. Etudier les points stationnaires de la courbe paramétrée

C : \{ \begin{matrix}x(t) & = & t e^{−1/t} \\ y(t) & = & (t + 2) e^{1/t} \end{matrix}

Exercice 2. Etudier les points stationnaires de la courbe définie par les équations :

C : \{ \begin{matrix}x(t) & = & \frac{1}{6} t^{6} − \frac{1}{5} t^{5} \\ y(t) & = & \frac{1}{5}t^{5} − \frac{3}{8} t^{4} + \frac{1}{6} t^{3} \end{matrix}

Exercice 3. Etudier au voisinage du point (x(0), y(0)), la courbe paramétrée

\{ \begin{matrix}x(t) & = & \frac{\sqrt{1 + t^{4}}}{1 + t} \\ y(t) & = & \frac{t^{3}}{1 + t} \end{matrix}

Exercice 4. Faire une étude locale au voisinage du point stationnaire pour :

\{ \begin{matrix}x(t) & = & ∫_{1}^{t} \frac{u^{2} − 1}{u^{2} + 1} du \\ y(t) & = & ∫_{1}^{t} \frac{u^{2} − 1}{u^{3} + 1} du \end{matrix}

Exercice 5. Soit (C) la courbe paramétrée

\{ \begin{matrix}x(t) = −2 t + e^{2 t} \\ y(t) = 2 + t^{2} − \frac{1}{2}t^{4} \end{matrix} ∀t ∈ ℝ .

(a) Montrer que (C) admet un point stationnaire, puis déterminer sa nature.

(b) Etudier les branches infinies (arc infinis) de (C).

(c) Etablir le tableau de variations des applications coordonnées x et y.

(d) i. Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) en M(0). ii. Calculer le DL_{3}(0) de f(t) = \frac{1}{2} + t + t^{2} − \frac{1}{2}t^{4} − \frac{1}{2}e^{2 t}. iii. Donner la position de (C) par rapport à (T) au voisinage de M(0).

§ (e) En utilisant les propriétés de monotonie de x et y, montrer qu’il existe un unique point double sur l’arc entre M(0) et M(1). [Considérer aussi les points M(−1) et M(−2).]

(f) Tracer soigneusement la courbe (C). (Prendre e^{2} = 7, 4 et e^{−2} = 0, 15.)

Exercices supplémentaires : équations différentielles

Exercice 6. (a) Résoudre sur I_{1} = ]−∞, 0[ et sur I_{2} = ]0, +∞[ l’équation

différentielle

xy′ + y = e^{x} .(E)

(b) Montrer de plus qu’il existe une unique solution de cette équation sur I_{1} (resp. I_{2}) admettant une limite finie en 0.

(c) Peut-on en déduire une solution à (E) sur tout ℝ? (Utiliser des D.L.)

Exercice 7. Résoudre les équations différentielles proposées :

(a) x y′ + 2y = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} sur ]0, +∞[.

(b) y′ cos x − y sin x = 2x − 1 sur ]−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}[.

Exercice 8. Soit l’équation différentielle :

x^{2}y′ − y = x^{2} − x + 1 .  (E)

Soit F une primitive de la fonction x ↦ (1 − \frac{1}{x}) e^{\frac{1}{x}}.

(a) Résoudre l’équation différentielle (E) sur ]0, +∞[ en fonction de F.

(b) Chercher une solution particulière de (E) sous forme polynômiale.

(c) En déduire une expression de F, puis vérifier le résultat.

Exercice supplémentaire : Suites recurrentes

Exercice 9. Déterminer une formule explicite pour la solution u = (u_{n}) à l’équation de récurrence

∀n ∈ ℕ : u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_{n}  (E)

en fonction de u_{0}, u_{1} ∈ ℝ donnés, dans chacun des cas suivants :

(a) x^{2} − a x − b = 0 admet deux racines réelles distinctes ρ_{1} et ρ_{2}.

(b) x^{2} − a x − b = 0 admet une racine double ρ.

(c) x^{2} − a x − b = 0 admet deux racines complexes distinctes ρe^{iφ} et ρ e^{−iφ}.