Université Antilles–Guyane DEUG MIAS 1^{e} année UFR Sciences Exactes et Naturelles Module MIP 2 Dépt Scientifique Interfacultaire 2^{e} semestre 2003–2004

Mathématiques 2 / Analyse — T.D. série n^{o} 4 : Courbes paramétrées.

Exercice 1. Etudier les points stationnaires de la courbe paramétrée

C : \{ \begin{matrix}x(t) & = & t e^{−1/t} \\ y(t) & = & (t + 1) e^{1/t} \end{matrix}

Exercice 2. Etudier les points stationnaires de la courbe définie par les équations :

C : \{ \begin{matrix}x(t) & = & \frac{1}{5} t^{5} − \frac{1}{6} t^{6} \\ y(t) & = & \frac{1}{5}t^{5} − \frac{3}{8} t^{4} + \frac{1}{6} t^{3} \end{matrix}

Exercice 3. Etudier au voisinage du point (x(0), y(0)), la courbe paramétrée

\{ \begin{matrix}x(t) & = & \frac{t^{2}}{1 + t} \\ y(t) & = & \frac{\sqrt{1 + t^{2}}}{1 + t} \end{matrix}

Exercice 4. Faire une étude locale au voisinage du point stationnaire pour :

\{ \begin{matrix}x(t) & = & ∫_{1}^{t} \frac{u^{2} − 1}{u^{2} + 1} du \\ y(t) & = & ∫_{1}^{t} \frac{u^{2} − 1}{u^{3} + 1} du \end{matrix}

Exercice 5. Soit (C) la courbe paramétrée

\{ \begin{matrix}x(t) = −2 t + e^{2 t} \\ y(t) = 2 + t^{2} − \frac{1}{2}t^{4} \end{matrix} ∀t ∈ ℝ .

(a) Montrer que (C) admet un point stationnaire, puis déterminer sa nature.

(b) Etudier les branches infinies (arc infinis) de (C).

(c) Etablir le tableau de variations des applications coordonnées x et y.

(d) i. Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) en M(0). ii. Calculer le DL_{3}(0) de f(t) = \frac{1}{2} + t + t^{2} − \frac{1}{2}t^{4} − \frac{1}{2}e^{2 t}. iii. Donner la position de (C) par rapport à (T) au voisinage de M(0).

§ (e) En utilisant les propriétés de monotonie de x et y, montrer qu’il existe un unique point double sur l’arc entre M(0) et M(1). [Considérer aussi les points M(−1) et M(−2).]

(f) Tracer soigneusement la courbe (C). (Prendre e^{2} = 7, 4 et e^{−2} = 0, 15.)