Université Antilles–Guyane DEUG MIAS 1^{e} année UFR Sciences Exactes et Naturelles Module MIP2 Dépt Scientifique Interfacultaire 2^{e} semestre 2003-2004

Algèbre Linéaire — Travaux Dirigés, série 4 : Familles libres et bases, applications linéaires dans ℝ^{n}

Exercice 0. Revoir les théorèmes et définitions importants du cours :

• Une famille v = (v_{1}, ..., v_{n}) est libre si on a une des propriétés équivalentes : (a) aucun v_{i} s’écrit comme combin. linéaire des autres ⟺

(b) ∀(λ_{1}, ..., λ_{n}) ∈ 𝕂^{n} : ( λ_{1} v_{1} +···+λ_{n} v_{n} = o ⟹ λ_{1} = ··· = λ_{n} = 0 ) ⟺ (c) Ψ_{(v_{1},...,v_{n})} est injective ⟺ (d) [v] = [v_{1}] ⊕ ··· ⊕ [v_{n}] et aucun v_{i} est nul. Toute famille non libre est liée.— Le (a) et (c) se généralisent directement à une famille (v_{i})_{i∈I} quelconque ; la famille vide est libre par convention. Une base de E est une famille libre et génératrice de E.

• L’image d’une famille v = (v_{i})_{i∈I} ∈ E^{I} par f ∈ L(E, F) est la famille f(v) = (f(v_{i}))_{i∈I} ∈ F^{I} ; elle est libre si v est libre et f injective, génératrice si v est génératrice et f surjective, base si v base et f ∈ Iso(E, F).

• Toute partie libre L d’un e.v. E se complète en une base de E par des éléments d’une partie génératrice G donnée. Ainsi tout e.v. admet une base, et tout s.e.v. un supplémentaire (en dimension finie).

• Le cardinal de toute base d’un e.v. est le même, c’est la dimension de l’e.v. (On se limite ici aux e.v. de dim. finie, c-à-d. engendrés par une partie finie.)

• Le rang d’une famille est la dimension du s.e.v. qu’elle engendre.

• Le rang d’une application f ∈ L(E, F) est rg f = dim im f ; l’image étant engendrée par l’image d’une base B de E, on a rg f = rg f(B).

• Pour deux s.e.v. F, G on a dim(F + G) = dim F + dim G − dim(F ∩ G).

• Pour f ∈ L(E, F) on a le théorème du rang : dim ker f + rg f = dim E.

Familles libres et bases

* Exercice 1. Dans ℝ^{3}, on considère les vecteurs v_{1} = (3, 1, 4) et v_{2} = (2, 7, 1). (a) Montrer que {v_{1}, v_{2}} est libre.

(b) Trouver v_{3} ∈ ℝ tel que B = {v_{1}, v_{2}, v_{3}} est libre.

(c) Montrer que ℝ^{3} = vect B pour déduire que B est une base de ℝ^{3}.

Exercice 2. (a) Montrer que la famille (sin, cos) est libre dans le ℝ–e.v. ℝ^{ℝ}.

* (b) Montrer qu’une famille de deux vecteurs est liée si et seulement si un

des deux est un multiple de l’autre. (N’oubliez pas le vecteur nul !)

(c) Montrer que la famille f = (f_{α})_{α∈ℝ} = (x ↦ e^{αx})_{α∈ℝ} est libre dans ℝ^{ℝ}.

Exercice 3. Soit E = ℂ[X]. Pour tout a ∈ ℂ, on définit φ_{a} ∈ L(E, ℂ) par φ_{a}(P) = P (a). Montrer que la famille (φ_{a})_{a∈ℂ} est libre dans L(E, ℂ). (Indication : Considérer P_{i} = ∏_{j≠i}(X − a_{j}).)

Exercice 4. Utiliser le pivot de Gauss pour trouver les relations de dépendance entre {u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}} et une base du s.e.v. de ℝ^{4} qu’ils engendrent, pour

(a) \begin{matrix}u_{1} = ( 1, −2, 1, 0 ) , & u_{2} = ( 3, −2, 0, 3 ) , \\ u_{3} = ( 0, −2, 1, −2 ) , & u_{4} = ( 1, 0, 2, 4 ) . \end{matrix} *
(b) \begin{matrix}u_{1} = & 3 e_{1} & − e_{2} & & − 3 e_{4} , & u_{2} = & −e_{1} & − 2 e_{2} & + 3 e_{3} & − e_{4} , \\ u_{3} = & e_{1} & − 5 e_{2} & + 6 e_{3} & − 5 e_{4} , & u_{4} = & 2 e_{1} & + 4 e_{2} & − 6 e_{3} & + 2 e_{4} , \end{matrix}

où (e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}) est une base quelconque de ℝ^{4}.

Exercice 5. (a) Soit (P_{k})_{k∈ℕ} une suite de polynômes de ℝ[X] telle que deg P_{k} =

k pour tout k ∈ ℕ. Montrer que (P_{k})_{k} est une base de ℝ[X].

(b) Soit a ∈ ℝ. Montrer que {(X + a)^{n}}_{n∈ℕ} est une base de ℝ[X]. Donner les coordonnées de P = a_{0} + a_{1}X + ⋯ + a_{n}X^{n} dans cette base. [Indication : on peut utiliser P = Q(X + a) ⟺ Q = P (X − a).]

Dimension et rang ; applications linéaires dans ℝ^{n}

Exercice 6. Soit f : ℝ^{3} → ℝ^{2} définie par f(x, y, z) = (x − 2 y, 3 y − z).

(a) Montrer que f est linéaire.

* (b) Déterminer ker f, et en donner une base. En déduire le rang de f.

* (c) Déterminer une partie génératrice de im f, puis une base de im f.

Exercice 7. (a) Montrer que u : ℝ^{3} → ℝ^{4} est linéaire, pour

u(x, y, z) = ( 5x + 2y − z , −8x − 3y + 2z , −x − 2y + 3z , 3x − y − 5z) .

(b) Montrer que V = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x − 3y = 0} est un sev de ℝ^{3}.

* (c) Déterminer u(V), l’image de V par u.

Exercice 8. Montrer qu’il existe une et une seule application linéaire u de ℝ^{3} dans ℝ^{2} telle que u(−1, 1, 0) = (1, 1), u(0, 2, 1) = (0, 1), u(1, 0, 1) = (1, 0). Calculer u(x, y, z) pour (x, y, z) arbitraire dans ℝ^{3}.

Exercice 9. (a) Calculer l’image de (x, y, z) ∈ ℂ^{3} par f ∈ L(ℂ^{3}) définie par

f(e_{1}) = α e_{1} + i e_{2} ; f(e_{2}) = 2 e_{1} + e_{2} , f(e_{3}) = −4 e_{1} + α e_{3} ;

où {e_{1}, e_{2}, e_{3}} est la base canonique de ℂ^{3}.

(b) Déterminer ker(f), im(f) ainsi qu’une base pour chacun de ces sev selon les valeurs de α. Préciser, pour chaque cas, le rang de f.

Exercice 10. Soient E un ev de dimension finie n ∈ ℕ^{∗}, f ∈ L(E), a ∈ E tels que (f(a), f^{2}(a), ..., f^{n}(a)) soit libre. Montrer que (a, f(a), ..., f^{n−1}(a)) est une base de E et que f est un automorphisme de E.

Exercice 11. Soit F un sev de E. Montrer que si F est de dimension finie, alors pour tout u ∈ L(E) : F ⊂ u(F) ⟹ F = u(F) . Donner un contre-exemple lorsque F n’est pas de dimension finie. (Essayer u(∑ a_{k} X^{2k}) = ∑ a_{k}X^{k}.)

Exercice 12. (a) Soient E et F deux 𝕂-ev de dimension finie. Montrer que

E × F est de dimension finie et que dim(E × F) = dim E + dim F.

(b) Soient F, G s.e.v. de E et φ : F × G → E, (x, y) ↦ x + y.

Montrer que ker φ est isomorphe à F ∩ G. En déduire, avec le (a) : dim(F + G) = dim F + dim G − dim F ∩ G.