Université Antilles–Guyane DEUG MIAS 1^{e} année UFR Sciences Exactes et Naturelles Module MIP 2 Dépt Scientifique Interfacultaire 2^{e} semestre 2001–2002

Mathématiques 2 / Analyse — T.D. série n^{o} 3 :

Equations différentielles.

Équations différentielles du premier ordre

Exercice 1. On considère l’équation différentielle x y′ − y^{2} = −1 − x − x^{2} . (E) (a) Résoudre l’équation (E) sans second membre (séparation des variables).

(b) Chercher une solution particulière à (E) sous forme polynômiale.

(c) Peut-on déduire de (a) et (b) l’ensemble de toutes les solutions de (E) ?

Exercice 2. Résoudre sur ]1, ∞[ l’équation différentielle

(1 − x) y′ + y = (x − 1)^{2} sin x .

Exercice 3. (a) Résoudre sur I = ]0, +∞[, en fonction du paramètre λ ∈ ℝ et de la fonction f ∈ C(I), l’équation différentielle

xy′ − λy = f(x) .

(b) Application : λ = 2, f = 3 ln x + 2. — Quelle est la solution générale ? Quelle est la solution particulière y = y_{1} vérifiant y_{1}(1) = 1 ?

(c) Entraînement : chercher la solution pour d’autres valeurs de λ, f, y(x_{0}) = y_{0}, et vérifier le résultat explicitement.

Équations différentielles linéaires du 2^{nd} ordre

Exercice 4. Résoudre les équations différentielles suivantes :

(a) y′′ − y′ − 6 y = e^{−2x}  (b) y′′ − 4 y′ + 5 y = e^{2 x} cos x
(c) y′′ − 2 y′ + y = 2 x ch x (d) y′′ + 4 y = x cos(2 x)
(e) y′′ − 2 y′ + 3 y = 2 sin x − cos x

Exercice 5. On cherche une solution particulière à l’équation différentielle

y′′ + b y′ + c y = P (x) e^{αx}

sous la forme y_{p} = Q(x) e^{αx}, lorsque P ∈ ℝ[X] est donné.

(a) Etablir une relation entre Q et P, nécessaire pour que y_{p} soit solution.

(b) On suppose que y_{h} = (Ax + B)e^{αx} est solution à y′′ + b y′ + cy = 0, ∀A, B ∈ ℝ. Peut-on exprimer dans ce cas b et c en fonction de α?

(c) Si b = −2 α et c = α^{2}, simplifier la relation entre P et Q trouvée au (a). Que peut-on exiger de Q, dans ce cas, pour avoir une solution particulière la plus simple possible et déterminée de façon unique ?