Université Antilles–Guyane DEUG MIAS 1^{e} année UFR Sciences Exactes et Naturelles Module MIP 2 Dépt Scientifique Interfacultaire 2^{e} semestre 2002–2003

Mathématiques 2 / Analyse — T.D. série n^{∘} 3 :

Equations différentielles. Courbes paramétrées.

équations différentielles du premier ordre

Exercice 1. Résoudre sur ]0, ∞[ l’équation différentielle

(1 + x) y′ + y = (x^{2} − 1) ln(1 + x) .  (E)

(Rappeller le type de (E), la structure des solutions ; résoudre l’équation homogène, chercher la solution particulière (variation de la c^{te}) et générale.)

Exercice 2. On considère, sur I = ] 0, +∞ [, l’équation différentielle

x^{2} y′ − λ y = f(x) , avec λ ∈ ℝ , f ∈ C(I; ℝ) .

(a) Déterminer l’ensemble S de toutes les solutions à cette équation, en fonction de λ ∈ ℝ et d’une primitive faisant intervenir la fonction f.

(b) Application : λ = 2, f(x) = \frac{1}{x^{2}} . Trouver y ∈ S vérifiant y(1) = 0.

Exercice 3. Résoudre, à l’aide du changement de variable indiqué, les équations (a) de Ricatti : y′ = (y − 1)(x y − y − x) sur ℝ, en posant y = 1 + 1/u .

(b) de Bernoulli : y′ cos x + y sin x + y^{3} = 0 sur I = ]−1, 1[ , u = 1/y^{2} .

équations différentielles linéaires du 2^{nd} ordre

Exercice 4. Résoudre les équations différentielles suivantes :

(a) y′′ − 2y′ − 3 y = e^{−x}  (b) y′′ − 2 y′ + 2 y = e^{x} sin x
(c) y′′ − 2 y′ + y = x sh x  (d)  y′′ + 2 y = x sin(\sqrt{2} x)
(e) y′′ − 2 y′ + 3 y = sin 2x − 3 cos x

Exercice 5. On cherche une solution particulière à l’équation différentielle

y′′ + b y′ + c y = P (x) e^{αx}

sous la forme y_{p} = Q(x) e^{αx}, lorsque P ∈ ℝ[X] est donné.

(a) Etablir une relation entre Q et P, nécessaire pour que y_{p} soit solution.

(b) On suppose que y_{h} = (Ax + B)e^{αx} est solution à y′′ + b y′ + c y = 0, ∀A, B ∈ ℝ. Peut-on exprimer dans ce cas b et c en fonction de α?

(c) Si b = −2 α et c = α^{2}, simplifier la relation entre P et Q trouvée au (a). Que peut-on exiger de Q, dans ce cas, pour avoir une solution particulière la plus simple possible et déterminée de façon unique ?

Courbes paramétrées

Exercice 6. Etudier le point stationnaire de la courbe C du plan affine définie paramétriquement par :

\{ \begin{matrix}x(t) & = & t e^{\frac{1}{t}} \\ y(t) & = & (t − 2) e^{− \frac{1}{t}} \end{matrix}

Exercice 7. Etudier au voisinage du point (x(0), y(0)), la courbe paramétrée C définie par les équations :

\{ \begin{matrix}x(t) & = & \frac{1}{3} t^{2} + \frac{1}{2} t^{3} + t^{4} \\ y(t) & = & 3 t^{2} + \frac{9}{2} t^{3} + 2 t^{4} \end{matrix}

Exercice 8. Même question pour la courbe définie par les équations :

\{ \begin{matrix}x(t) & = & \frac{\sqrt{1 + t^{4}}}{1 + t} \\ y(t) & = & \frac{t^{3}}{1 + t} \end{matrix}

Exercice 9. Faire une étude locale au voisinage du point stationnaire pour :

\{ \begin{matrix}x(t) & = & ∫_{1}^{t} \frac{u^{2} − 1}{u^{2} + 1} du \\ y(t) & = & ∫_{1}^{t} \frac{u^{2} − 1}{u^{3} + 1} du \end{matrix}

Exercice 10. Soit la courbe C du plan affine P définie paramétriquement par :

\{ \begin{matrix}x(t) & = & 2t^{3} − 3t^{2} \\ y(t) & = & 3t^{4} − 4t^{3} \end{matrix}

(a) Quel est le domaine de définition D de C?

(b) Rechercher les points stationnaires et les étudier.

(c) Etudier les arcs infinis.

(d) Rechercher les points multiples éventuels.

(e) Etablir le tableau de variation des applications coordonnées et tracer C.