Université Antilles–Guyane DEUG MIAS 1^{e} année UFR Sciences Exactes et Naturelles Module MIP2 Dépt Scientifique Interfacultaire 2^{e} semestre 2003-2004

Algèbre Linéaire — Travaux Dirigés, série 3 : Intersection et somme de sous-espaces, supplémentaire.

Exercice 0. (a) Revoir les définitions du cours :

• Somme de s.e.v. : F + G; ∑_{i∈I} F_{i} = vect ⋃_{i∈I} F_{i} = [ ⋃_{i∈I} F_{i} ].

• Combinaisons linéaires (C.L.) : [ v_{1}, ..., v_{n}] = 𝕂 · v_{1} + ⋯ + 𝕂 · v_{n},

[ A] = {λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{n}v_{n} ; n ∈ ℕ, λ ∈ 𝕂^{n}, v ∈ A^{n}}; [(v_{i})_{i∈I}] = im Ψ_{(v_{i})_{i∈I}}.

• S.e.v. engendré par une partie : vect A = ⋂_{s.e.v. F ⊃A} F.

• Somme directe de s.e.v. : F ⊕ G = F + G avec F ∩ G = {o}; alors F, G sont s.e.v. supplémentaires dans F ⊕ G, et p_{F} : x + y ↦ x est le projecteur sur F (parallèlement à G).

(b) Revoir les théorèmes importants du cours :

• Image directe et réciproque par une application linéaire, intersection et somme de s.e.v. sont encore s.e.v.

• Le s.e.v. engendré par une partie est égal à l’ensemble des combinaisons linéaires de ses éléments : vect A = [ A] , et aussi vect (v_{i})_{i∈I} = [ (v_{i})_{i∈I} ] .

• Equivalence : E = F ⊕ G ⟺ ((x, y) ↦ x + y) ∈ Iso(F × G, E) ⟺ unicité de la décomposition z = x + y , ∀z ∈ E, (x, y) ∈ F × G.

Sous-espaces de ℝ^{3} et de ℝ^{n}

Exercice 1. (a) Exprimer F = {x ∈ ℝ^{3} | x_{3} = 2 x_{1} − x_{2}} en utilisant le produit

scalaire x · y = x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + x_{3} y_{3}, avec y ∈ ℝ bien choisi.

* (b) Exprimer F comme noyau d’une application linéaire et en déduire que

c’est un s.e.v. de ℝ^{3}.

(c) Montrer que D = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x = y − z et y = 2 x} est un s.e.v., en l’exprimant comme intersection de deux s.e.v.

(d) Donner un vecteur a ∈ ℝ^{3} tel que D = ℝ·a. (Utiliser le produit

vectoriel u ∧ v = (u_{2}v_{3} − u_{3}v_{2}, u_{3}v_{1} − u_{1}v_{3}, u_{1}v_{2} − u_{2}v_{1}), u, v ∈ ℝ^{3}.)

* (e) Exprimer D comme noyau d’une application linéaire à valeurs dans ℝ^{2}.

Exercice 2. (Généralisation de l’exo précédent à ℝ^{n} (n ∈ ℕ^{∗} quelconque), qui

sera utile pour l’étude des systèmes linéaires et la méthode de Gauss.)

* (a) Montrer que l’hyperplan orthogonal à a ∈ ℝ^{n}, défini par

H_{a} = {(x_{1}, ..., x_{n}) ∈ ℝ^{n} | x_{1}a_{1} + ... + x_{n}a_{n} = 0} , est un s.e.v. de ℝ^{n}.

(b) En comparant à ℝ^{2} et ℝ^{3}, définir l’angle entre deux vecteurs x, y ∈ ℝ^{n} en termes du produit scalaire x · y. (Utiliser arccos et ∥x∥ = \sqrt{x · x}.)

(c) Ecrire l’intersection H(a_{1}, ..., a_{m}) de plusieurs hyperplans H_{a_{1}}, ..., H_{a_{m}} comme noyau d’une application linéaire Ψ_{v} de ℝ^{n} dans ℝ^{m}.

(d) Montrer que si a = λb + μc (a, b, c ∈ ℝ^{n}), alors H_{b} ∩ H_{c} ⊂ H_{a}. En déduire que si un vecteur a_{j} de la famille (a_{1}, ..., a_{m}) ∈ (ℝ^{n})^{m} est combinaison linéaire des autres vecteurs, alors H(a_{1}, ..., a_{m}) = H(a_{1}, ..., a_{j−1}, a_{j+1}, ..., a_{m}). En déduire qu’il existe une partie {a′_{1}, ..., a′_{r}} de {a_{1}, ..., a_{m}} telle que H(a′_{1}, ..., a′_{r}) = H(a_{1}, ..., a_{m}), aucun a′_{i} soit combinaison linéaire des autres, et que {a′_{1}, ..., a′_{r}} engendre le même espace que {a_{1}, ..., a_{m}}.

* Exercice 3. (a) On considère le sous-espace vectoriel F de ℝ^{4} engendré par

v_{1} = (1, 2, 3, 4), v_{2} = (2, 3, 4, 5), v_{3} = (4, 3, 2, 1), v_{4} = (3, 2, 3, 2) .

Déterminer si les vecteurs suivants sont éléments de F = [v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}],

u_{1} = (1, 1, 1, 1), u_{2} = (1, 2, 1, 4), u_{3} = (9, 7, 5, 3), u_{4} = (1, 2, 4, 8)

en cherchant, à l’aide de la méthode de Gauss, une famille plus simple qui engendre le même espace que (v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}).

(b) Même exercice avec deux familles de 5 vecteurs arbitraires de ℝ^{5}.

Supplémentaire et projecteurs

Exercice 4. Montrer que E = F ⊕ G et donner les projecteurs p_{F} et p_{G} pour

(a) E = ℝ^{n}, F = [a], G = H_{a} (cf. exo 2a) [résoudre a · (v − λa) = 0],

* (b) E = ℝ^{ℝ}, F = fonctions paires, G = fonctions impaires (série 2, ex. 2f) (c) E = ℝ^{ℝ}, F = {f ∈ E | f = c^{ste}}, G = {f ∈ E | f(0) = 0},

(d) E = 𝕂[X], F = {P ∈ E | ∃k ∈ ℕ : P = a_{0} + a_{2}X^{2} + ... + a_{2k}X^{2k}} ,

G = {P ∈ E | ∃k ∈ ℕ : P = a_{1}X + a_{3}X^{3} + ... + a_{2k+1}X^{2k+1}} .

Exercice 5. Soient F et G deux sous-espaces supplémentaires de E. Tout x ∈ E s’écrit donc de manière unique x = y + z avec y ∈ F et z ∈ G.

(a) Montrer que l’application s_{F} : x ↦ y − z est un endomorphisme de E, appelé symétrie par rapport à F parallèlement à G.

(b) Montrer que s_{F} = id_{E} −2 p_{G} = 2 p_{F} − id_{E} = p_{F} − p_{G}, ou p_{X} est le projecteur sur X.

Exercice 6. Soit E un 𝕂-ev et u ∈ L(E) tel que im u = [v] pour un v ∈ E. (a) Montrer qu’il existe α ∈ L(E, 𝕂) tel que ∀x ∈ E : u(x) = α(x) · v.

(b) Si v ≠ o, montrer qu’il existe un unique λ ∈ 𝕂 tel que u ∘ u = λ u.

(c) En déduire un projecteur p sur im u, et montrer que ker u est un supplémentaire de im u dans E.

Exercice 7. Soit F un s.e.v. d’un e.v. E, et F_{1}, F_{2} deux supplémentaires de F dans E. Montrer que la restriction à F_{2} du projecteur sur F_{1} parallèlement à F, u = p_{F_{1}}|_{F_{2}} , est un isomorphisme de F_{2} sur F_{1}.