Université Antilles–Guyane DEUG MIAS 1^{e} année UFR Sciences Exactes et Naturelles Module MIP2 Dépt Scientifique Interfacultaire 2^{e} semestre 2002-2003

Algèbre Linéaire — Travaux Dirigés^{(∗)}, série 3 : Intersection et somme de sous-espaces, supplémentaire.

(RP) Exercice 22. Revoir les théorèmes importants du cours :

• Image directe et réciproque de s.e.v. sont encore s.e.v.

• Intersection et somme de s.e.v. sont encore s.e.v.

• Le s.e.v. engendré par une partie est égal à l’ensemble des combinaisons linéaires de ses éléments.

• Equivalence : E = F ⊕ G ⟺ ((x, y) ↦ x + y) ∈ Iso(F × G, E) ⟺ unicité de la décomposition z = x + y , ∀z ∈ E, (x, y) ∈ F × G.

(RP) Exercice 23. Revoir les définitions du cours :

• Somme de s.e.v. : F + G; ∑_{i∈I} F_{i} = vect ⋃_{i∈I} F_{i} .

• Combinaisons linéaires (C.L.) : [v_{1}, ..., v_{n}] = 𝕂 · v_{1} + ⋯ + 𝕂 · v_{n} [v] = im Ψ_{v} (v ∈ E^{I}) ; [A] = {λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{n}v_{n} ; n ∈ ℕ, λ ∈ 𝕂^{n}, v ∈ A^{n}}.

• S.e.v. engendré par une partie : vect A = ⋂_{s.e.v. F ⊃A} F.

• Somme directe de s.e.v. : F ⊕ G = F + G avec F ∩ G = {o}; F, G sont s.e.v. supplémentaires dans F ⊕ G; p_{F} : x + y ↦ x le projecteur sur F.

(RP) Exercice 24. Comme exercice 3, série 1. (Relisez-le !) Développer ce qui n’est pas clair ci-dessus ; poser des questions. Méditer sur l’équation [A] = [id_{E}|_{A}].

(Indication : l’injection canonique i_{A→E} = id_{E}|_{A} d’une partie A ⊂ E dans E est une application donc une famille v (exo 2(c), série 1) ; quel est l’ensemble des indices I, que vaut v_{i}, détailler la définition de l’application linéaire Ψ_{v} attachée à v (exo 16(c), série 2).) Posez des questions, dans l’ordre : à vous même, à vos camarades, aux tuteurs, aux chargés de TD, au prof. du cours !

Sous-espaces de ℝ^{3} et de ℝ^{n}

(AD) Exercice 25.

(a) Exprimer F = {x ∈ ℝ^{3} | x_{1} = 2x_{2} + x_{3}} en utilisant le produit scalaire x · y = x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + x_{3} y_{3}. — Interprétation géométrique ?

(b) Exprimer F comme noyau d’une application linéaire et en déduire que c’est un s.e.v. de ℝ^{3}. (On peut utiliser l’exo 16(b) avec un v ∈ ℝ^{3}.)

(c) Montrer que D = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x + y = z et y = 2z} est un s.e.v., en l’exprimant comme intersection de deux s.e.v.

(d) Donner a ∈ ℝ^{3} tel que D = ℝ·a. (Utiliser le produit vectoriel u ∧ v = (u_{2}v_{3} − u_{3}v_{2}, u_{3}v_{1} − u_{1}v_{3}, u_{1}v_{2} − u_{2}v_{1}), orthogonal aux vecteurs u, v.)

(e) Ecrire la définition de D en termes d’une seule équation vectorielle dans ℝ^{2}, pour l’exprimer ensuite comme noyau d’une application linéaire.

(∗) RP = révision du cours / préparation du T.D. (obligatoire; revu en T.D. seulement sur

demande !) ; AD = application directe du cours ; EX = exercice ; PB = problème.

(EX) Exercice 26. On généralise l’exercice précédent à ℝ^{n}, pour n ∈ ℕ^{∗} quelconque.

(a) Montrer que l’hyperplan orthogonal à a ∈ ℝ^{n}, défini par H_{a} = {(x_{1}, ..., x_{n}) ∈ ℝ^{n} | x_{1}a_{1} + ... + x_{n}a_{n} = 0} , est un s.e.v. de ℝ^{n}.

(b) En comparant à ℝ^{2} et ℝ^{3}, définir l’angle entre deux vecteurs x, y ∈ ℝ^{n} en termes du produit scalaire x·y. (On utilisera arccos et ∥x∥ = \sqrt{x·x}.)

(c) Ecrire l’intersection H(a_{1}, ..., a_{m}) de plusieurs hyperplans H_{a_{1}}, ..., H_{a_{m}} comme noyau d’une application linéaire Ψ_{v} de ℝ^{n} dans ℝ^{m}.

(d) Montrer que si a = λb + μc (a, b, c ∈ ℝ^{n}), alors H_{b} ∩ H_{c} ⊂ H_{a}. En déduire que si un vecteur a_{j} de la famille a = (a_{1}, ..., a_{m}) ∈ (ℝ^{n})^{m} est combinaison linéaire d’autres vecteurs de a, alors H(a_{1}, ..., a_{m}) = H(a_{1}, ..., a_{j−1}, a_{j+1}, ..., a_{m}). En déduire qu’il existe une partie {a′_{1}, ..., a′_{r}} de {a_{1}, ..., a_{m}} telle que H(a′_{1}, ..., a′_{r}) = H(a_{1}, ..., a_{m}), aucun a′_{i} soit combinaison linéaire des autres, et que {a′_{1}, ..., a′_{r}} engendre le même espace que {a_{1}, ..., a_{m}}.

(e) (À titre indicatif : généralisation du produit vectoriel.)

Pour toute famille (a_{2}, ..., a_{n}) de ℝ^{n}, le vecteur v = (v_{1}, ..., v_{n}) ∈ ℝ^{n}

donné par v_{i} = ∑_{i_{2},...,i_{n}=1}^{n}ε_{i,i_{2},...,i_{n}} ∏_{j=2}^{n} (a_{j})_{i_{j}} est tel que H(a_{2}, ..., a_{n}) = ℝ·v,

sauf si un a_{j} est combinaison linéaire des autres, auquel cas v = o. (Ici, ε est défini par ε_{1,...,n} = 1 et l’antisymétrie ε_{...i...j...} = −ε_{...j...i...}).

Supplémentaire et projecteurs

(EX) Exercice 27. Montrer que E = F ⊕ G et donner les projecteurs p_{F} et p_{G} pour (a) E = ℝ^{n}, F = [a], G = H_{a} (cf. exo 26a) [résoudre Ψ_{a}(v − λa) = 0],

(b) E = ℝ^{ℝ}, F = fonctions paires, G = fonctions impaires (cf. exo 10f),

(c) E = ℝ^{ℝ}, F = {f ∈ E | f = c^{ste}}, G = {f ∈ E | f(0) = 0},

(d) E = 𝕂[X], F = {P ∈ E | ∃k ∈ ℕ : P = a_{0} + a_{2}X^{2} + ... + a_{2k}X^{2k}} ,

G = {P ∈ E | ∃k ∈ ℕ : P = a_{1}X + a_{3}X^{3} + ... + a_{2k+1}X^{2k+1}} .

(AD) Exercice 28. Soient F et G deux sous-espaces supplémentaires de E. Tout x ∈ E s’écrit donc de manière unique x = y + z avec y ∈ F et z ∈ G.

(a) Montrer que l’application s_{F} : x ↦ y − z est un endomorphisme de E, appelé symétrie par rapport à F parallèlement à G.

(b) Montrer que s_{F} = id_{E} −2 p_{G} = 2 p_{F} − id_{E} = p_{F} − p_{G}, ou p_{X} est le projecteur sur X.

(EX) Exercice 29. Soit E un 𝕂-ev et u ∈ L(E) tel que im u = [v] pour un v ∈ E. (a) Montrer qu’il existe α ∈ L(E, 𝕂) tel que ∀x ∈ E : u(x) = α(x) · v.

(b) Si v ≠ o, montrer qu’il existe un unique λ ∈ 𝕂 tel que u ∘ u = λ u.

(c) En déduire un projecteur p sur im u, et montrer que ker u est un supplémentaire de im u dans E.

(PB) Exercice 30. Soit F un s.e.v. d’un e.v. E, et F_{1}, F_{2} deux supplémentaires de F dans E. Montrer que la restriction à F_{2} du projecteur sur F_{1} parallèlement à F, u = p_{F_{1}}|_{F_{2}} , est un isomorphisme de F_{2} sur F_{1}.