Université Antilles–Guyane DEUG MIAS 1^{e} année UFR Sciences Exactes et Naturelles Module MIP 2 Dépt de Mathématiques et Informatique Dépt Scientifique Interfacultaire 2^{e} semestre 2001–2002

Mathématiques 2 / Analyse — T.D. série n^{o} 2 : Intégration.

(Les exercices marqués d’une (*) seront corrigés en T.D.)

Exercice 1. Soit f une fonction de classe C^{2} sur ℝ, telle que f(0) = 0.

Pour tout x ∈ ℝ, on pose F (x) = ∫_{0}^{x} f(t) dt − \frac{x}{2}f(x).

(a) Montrer que F est de classe C^{2} sur ℝ, et calculer F′′(x) , (x ∈ ℝ).

Solution: F dérivable car différence de fct. dérivables (la primitive en particulier, qui est d’ailleurs bien déf. car f continue dc intégrable) et F′(x) = f(x) − \frac{1}{2}f(x) − \frac{x}{2}f′(x) = \frac{1}{2}(f(x) − xf′(x)). C’est encore continument dérivable car f ∈ C^{2} ⟹ f′ ∈ C^{1}, donc F ∈ C^{2} et F′′(x) = −\frac{x}{2}f′′(x).

(b) En appliquant à F la formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre 1, montrer que pour tout x ∈ ℝ :

F (x) = −\frac{1}{2} ∫_{0}^{x} t (x − t) f′′(t) dt .

Solution: Si F ∈ C^{2}, F (x) = F (0) + F′(0) · x + ∫_{0}^{x} F (t)(x − t) dx; avec F (0) = F′(0) = 0 on a le résultat.

Exercice 2. Soit f une fonction de classe C^{3} sur un intervalle I de ℝ telle que

∃M > 0 , ∀t ∈ I : |f^{(3)}(t)| ≤ M .

En utilisant la formule de Taylor avec reste intégral, montrer

∀a, x ∈ I : |f(x) − f(a) − f′(a) (x − a) − \frac{1}{2} f′′(a) (x − a)^{2}| ≤ \frac{M}{6} |x − a|^{3} .

Solution: f ∈ C^{2} ⟹ f(x) = f(a)+f′(a)(x−a)+ \frac{1}{2}f′′(a)(x−a)^{2}+ \frac{1}{2} ∫_{a}^{x} f′′′(t)(x−t)^{2} dt. Donc |...| ≤ \frac{1}{2} ∫_{a}^{x} |f′′′(t)(x − t)^{2}| dt ≤ \frac{1}{2} ∫_{a}^{x} M |t − x|^{2} dt = \frac{1}{6}M[(t − x)^{3}]_{a}^{x} = \frac{1}{6}M(x − a)^{3} pour x ≥ a; pour x < a on a par définition ∫_{a}^{x} = − ∫_{x}^{a}, il faut laisser une valeur absolue autour de l’intégrale et on a le résultat.

Exercice 3. On pose f(x) = ln(1 + x^{2}). En appliquant à f la formule de Taylor avec reste intégral sur [0, 1], à un ordre convenable, montrer que :

∫_{0}^{1} \frac{(1 + t) (1 − t)^{2}}{(1 + t^{2})^{2}} dt = \frac{ln 2}{2}.

Solution: On a f′(x) = \frac{2x}{1 + x^{2}} , f′′(x) = \frac{2 − 2x^{2}}{(1 − x^{2})^{2}} et f(1) = f(0)+f′(0)·1+∫_{0}^{1} f′′(t)(1−

t) dt; avec (1−t^{2})(1−t) = (1+t)(1−t)^{2} et en divisant par 2 on a le résultat.

Exercice 4. (^{∗}) Montrer que pour f, g ∈ C([a, b]), si g > 0 sur ]a, b[, alors

∃ξ ∈ [a, b] : ∫_{a}^{b} f(x) g(x) dx = f(ξ) ∫_{a}^{b} g(x) dx

(théorème de la moyenne généralisé). [Indication : étudier G(x) = ∫_{a}^{x} g(t) dt pour justifier le changement de variable u(x) = a + G(x) · (b − a)/G(b).]

Solution: On a G bien définie (g intégrable car continue) et dérivable sur [a, b], avec G′ = g > 0. Donc G est strictement croissante sur ]a, b[, et idem pour u, qui est donc bijection de [a, b] sur [u(a), u(b)] = [a, b]. u est dérivable et u′ = g · (b − a)/G(b). Ainsi on peut faire le changement de variable pour passer de x à u :

∫_{a}^{b} f(x) g(x) dx = ∫_{a}^{b} f(x(u)) du · \frac{G(b)}{b − a} .

En utilisant le théorème de la moyenne pour u ↦ f(x(u)),

∃ũ ∈ [a, b] : ∫_{a}^{b} f(x(u)) du = (b − a) f(x(ũ)) ,

on a le résultat cherché, avec ξ = x(ũ) (puisque G(b) = ∫_{a}^{b} g(t) dt).

Exercice 5. (^{∗}) Calculer les primitives suivantes (intégration à vue) :

I_{1} = ∫ (x + \frac{1}{x})^{2} dx , I_{2} = ∫ \frac{ln x}{x} dx , I_{3} = ∫ \frac{1}{x ln x} dx ,

I_{4} = ∫ \frac{2x − sin x}{\sqrt{x^{2} + cos x}} dx , I_{5} = ∫ \frac{cos x}{(sin x)^{n}} dx (n > 1) .

Solution: NB : ici les changements de variables sont indiqués en écrivant ∫ ... dφ(x) (φ = ln, sin ...) ; pour la rédaction il vaut mieux écrire explicitement u = φ(x), du = φ′(x)dx sans oublier de resubstituer φ(x) pour u dans le résultat. I_{1} = ∫ x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} dx = x^{3}/3 + 2x − \frac{1}{x} + C; I_{2} = ∫ ln x d ln x = \frac{1}{2}(ln x)^{2} + C; I_{3} = ∫ \frac{1}{ln u} d ln x = ln(ln x) + C; I_{4} = ∫ (x^{2} + cos x)^{−1/2} d(x^{2} + cos x) = 2(x^{2} +cos x)^{1/2} +C (NB : \sqrt{...} est bien défini ∀x ∈ ℝ mais x^{2} +cos x bijective seulement sur ℝ_{+} ou ℝ_{−} séparément ; mais le Thm de Chasles permet de � recoller les deux bouts �.) I_{5} = ∫ \frac{1}{(sin x)^{n}} d sin x = \frac{1}{1−n}(sin x)^{1−n} + C (sur tout intervalle de ℝ \ πℤ.)

Exercice 6. Calculer, à l’aide d’intégration par parties, les primitives

(a) ∫ ln x dx ,  (b) ∫ arctan x dx , (c) ∫ e^{x} sin x dx ,
(^{∗}) (d) ∫ \frac{x e^{x}}{(1 + e^{x})^{3}} dx , (e) ∫ x e^{2 x+1} dx ,  (f) ∫ \frac{1}{(x^{2} + 1)^{2}} dx .

(Indication pour (f) : intégrer par parties ∫ \frac{1}{x^{2} + 1} dx.)

Solution: a = ∫ ln x dx = [x · ln x] − ∫ x\frac{1}{x} dx = x · ln x − x + C.

b = ∫ arctan x = [x arctan x] − ∫ x\frac{1}{1+x^{2}} dx = x arctan x − \frac{1}{2} ln(1 + x^{2}). c = ∫ e^{x} sin x dx = [−e^{x} cos x] + ∫ e^{x} cos x dx = −e^{x} cos x + [e^{x} sin x] − ∫ e^{x} sin x dx ⟹ ∫ e^{x} sin x dx = \frac{1}{2}(−e^{x} cos x + e^{x} sin x) + C(!). d = ∫ \frac{x e^{x}}{(1+e^{x})^{3}} dx = [x\frac{−1/2}{(1+e^{x})^{2}} ] + \frac{1}{2} ∫ \frac{1}{(1+e^{x})^{2}} dx (avec \frac{e^{x}}{(1+e^{x})^{3}} = \frac{u′}{(1+u)^{3}} ), puis \frac{1}{(1+e^{x})^{2}} = \frac{1+e^{x}−e^{x}}{(1+e^{x})^{2}} = \frac{1}{1+e^{x}} − \frac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}} = \frac{1+e^{x}−e^{x}}{1+e^{x}} − \frac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}} et ainsi ∫ \frac{1}{(1+e^{x})^{2}} dx = x − ln(1 + e^{x}) + \frac{1}{1+e^{x}} + C. e = ∫ xe^{2 x+1} dx = [xF (x)]−∫ F (x) dx avec F (x) = ∫ e^{2 x+1} dx = \frac{1}{2} ∫ e^{u} du = \frac{1}{2}e^{u} avec u = 2 x + 1, donc ∫ F (x) dx = \frac{1}{2} · \frac{1}{2} e^{u} + C.

f = ∫ \frac{1}{x^{2}+1} dx = [x\frac{1}{x^{2}+1}] − ∫ x\frac{−1·2 x}{(x^{2}+1)^{2}} dx = \frac{x}{x^{2}+1} + 2 ∫ \frac{x^{2}+1−1}{(x^{2}+1)^{2}} dx = \frac{x}{x^{2}+1} + 2 ∫ \frac{1}{x^{2}+1} dx − 2 ∫ \frac{1}{(1+x^{2})^{2}} dx d’où ∫ \frac{1}{(1+x^{2})^{2}} dx = \frac{1}{2}(\frac{x}{x^{2}+1} + ∫ \frac{1}{x^{2}+1} dx) = \frac{1}{2} \frac{x}{x^{2}+1} + \frac{1}{2} arctan x + C.

Exercice 7. On pose I_{n}(x) = ∫ (ln x)^{n} dx pour tout n ∈ ℕ. Etablir une relation

de récurrence entre I_{n+1}(x) et I_{n}(x), I_{n−1}(x). Calculer I_{3}(x).

Solution: On a I_{n+1} = [I_{1} ·(ln x)^{n}]−∫ I_{1} ·n(ln x)^{n−1} \frac{1}{x} dx avec I_{1} = ∫ ln x dx = x ln x−x (exo 6), d’où I_{n+1} = (x ln x − x)(ln x)^{n} − n(I_{n} + I_{n−1}). Avec I_{0} = x, On a donc I_{2} = (x ln x − x) ln x − (x ln x − x + x) = x ln^{2} x − 2x ln x.

Exercice 8. Calculer, à l’aide d’un changement de variable, les primitives :

(^{∗}) A = ∫ (sin x cos x − 2 sin^{3} x cos^{2} x) dx , B = ∫ \frac{dx}{x ln x ln(ln x)} ,

(^{∗}) D = ∫ \frac{e^{x} dx}{(1 + e^{x})\sqrt{e^{x} − 1}} , E = ∫ \frac{2 x dx}{\sqrt{2x + 1}} , F = ∫ \frac{dx}{5 ch x + 3 sh x + 4} .

Solution: A = ∫ −u + 2(1 − u^{2})u^{2} du = −\frac{1}{2}u^{2} + \frac{2}{3}u^{3} − \frac{2}{5}u^{5} + C avec u = cos x. B = ∫ \frac{1}{u ln u} du = ∫ \frac{d ln u}{ln u} = ln ln u + C avec u = ln x. D : pour u = \sqrt{e^{x} − 1}, du = \frac{1}{2} \frac{dx}{\sqrt{e^{x}−1}}, e^{x} + 1 = u^{2} + 2, donc

D = ∫ \frac{2}{u^{2}+2} du = \sqrt{2} arctan \sqrt{\frac{e^{x}−1}{2}} + C.

E : (déf. pour x ≥ −\frac{1}{2}) : avec u = \sqrt{2x + 1}, du = \frac{dx}{\sqrt{2x+1}}, 2x = u^{2} − 1, E = ∫ u^{2} − 1 dx = \frac{1}{3}u^{3} − u + C = \frac{2}{3}(x − 1)\sqrt{2x + 1} + C.

F = ∫ \frac{dx}{4 e^{x} + e^{−x} + 4} = ∫ \frac{e^{x} dx}{4 e^{2x} + 1 + 4 e^{x}} = ∫ \frac{de^{x}}{4(e^{x} + \frac{1}{2})^{2}} = \frac{1}{4e^{x} + 2} + C

Exercice 9. Décomposer en éléments simples (sur ℝ) les fractions rationnelles

(^{∗}) f(x) = \frac{x + 3}{x^{2} − 4} , g(x) = \frac{2x^{2} + 3x − 1}{(x − 2)(x^{2} + 2x + 5)} , h(x) = \frac{x^{2} − 2x + 2}{(x + 1)^{2}} ,

(^{∗}) v(x) = \frac{6x^{2} + 12x + 4}{x(x + 2)^{2}} , w(x) = \frac{x^{2} + x + 1}{(x^{2} + 1)(x − 1)^{3}} .

Solution: décomp.formelle : f(x) = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x−2} ; A = lim_{x→−2}(x + 2)f(x) = \frac{−2+3}{−2−2} = −\frac{1}{4}, B = lim_{2}(x − 2)f(x) = \frac{2+3}{2+2} = \frac{5}{4} (= 1 − A car lim_{x→∞} xf(x) = 1 = A + B).

De même, g(x) = \frac{1}{x − 2} + \frac{x + 3}{x^{2} + 2x + 5}, h(x) = 1 − \frac{4}{x + 1} + \frac{5}{(x + 1)^{2}} ,

v(x) == \frac{1}{x} + \frac{5}{x + 2} − \frac{2}{(x + 2)^{2}} , w(x) = \frac{−1/4}{x − 1} + \frac{3/2}{(x − 1)^{3}} + \frac{x/4 + 1/4}{x^{2} + 1}.

Exercice 10. Calculer les primitives :

(^{∗}) A = ∫ \frac{x + 2}{x^{2} + x − 6} dx , (^{∗}) B = ∫ \frac{x^{3} − 2}{x^{3} − x^{2}} dx ,

C = ∫ \frac{3x + 2}{x^{2} + x + 1} dx , D = ∫ \frac{x^{3} + 1}{x (x − 1)^{2}} dx , E = ∫ \frac{2}{x^{2} (x^{2} + 1)^{2}} dx .

Solution: A : \frac{x+2}{x^{2}+x+6} = \frac{α}{x+3} + \frac{β}{x−2} avec (lim_{r}(x − r)f(x)) α = \frac{−3+2}{−5} = \frac{1}{5}, β = \frac{2+2}{2+3} = \frac{4}{5}, donc A = \frac{1}{5} ln |x + 3| + \frac{4}{5} ln |x − 2| + C (C = c^{te} sur ℝ \ \{ −3, 2 \}). b = 1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}} − \frac{1}{x−1} ⟹ B = x + 2 ln |x| − \frac{2}{x} − ln |x − 1| + C (c^{te} sur ℝ \ { 0, 1 }.) c = \frac{3}{2} \frac{2x+1}{x^{2}+x+1}+\frac{1/2}{x^{2}+x+1} et x^{2}+x+1 = (x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4} = \frac{3}{4}(u^{2}+1) avec u = \sqrt{\frac{4}{3}}(x+\frac{1}{2}) donc C = \frac{3}{2} ln(x^{2} + x + 1) + \sqrt{\frac{1}{3}} arctan u + c^{te}. d(x) = 1+ \frac{1}{x} + \frac{1}{x−1} + \frac{2}{(x−1)^{2}} ⟹ D = x+ln |x^{2} −x|− \frac{2}{x−1} +C (sur ℝ\\{ 0, 1 \}). e(x) = \frac{2}{x^{2}} − \frac{2}{x^{2}+1} − \frac{2}{(x^{2}+1)^{2}} ⟹ E = −\frac{2}{x} − 3 arctan x − \frac{x}{x^{2}+1} + C

Exercice 11. (a) Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles

f(x) = \frac{x^{2} − x + 2}{x^{5} + x^{2}} et g(x) = \frac{x^{5} − x^{3} + 3x^{2} + 5x + 2}{(x − 1)^{2} (x^{2} + 2x + 2)} .

Solution: f(x) = \frac{x^{2}−x+2}{x^{2}(x^{3}+1)}. Division à l’odre x^{2} donne 2−x+x^{2} = (1+x^{3})(2−x)+ x^{2}(1−2x+x^{2}) donc f(x) = \frac{2}{x^{2}} −\frac{1}{x}+\frac{(1−x)^{2}}{1+x^{3}} . On a 1+x^{3} = (1+x)(1−x+x^{2}) (x = −1 racine évidente), donc \frac{(1−x)^{2}}{1+x^{3}} = \frac{A}{1+x} + \frac{Bx+C}{1−x+x^{2}} =: h. A = lim_{x→−1}(1 + x) · h(x) = \frac{4}{3}, lim_{∞} xh = A + B ⟹ B = 1 − A = −\frac{1}{3} et

C = h(0) − A = −\frac{1}{3} donc enfin f(x) = \frac{2}{x^{2}} − \frac{1}{x} + \frac{4/3}{1 + x} − \frac{1}{3} · \frac{1 + x}{1 − x + x^{2}} .

g : séparer la partie entière par � division euclidienne � (soustraire x·(denom)), x^{5} −x^{3} +3x^{2} +5x+2 = (x^{4} −x^{2} −2 x+2)·x+5x^{2} +3x+2. Le chgt de variable t = x − 1 suivi d’une division à l’ordre t^{2} donne 10 + 13t + 5t^{2} = (5 + 4t + t^{2})(2 + t) − t^{2}(1 + t), d’où fina-

lement g(x) = x + \frac{1}{x − 1} + \frac{2}{(x − 1)^{2}} − \frac{x}{x^{2} + 2x + 2}. (Autre solut^{o} :

lim_{x→1}(x − 1)^{2}g(x) ⟹ B = 2 ; puis x = 0, x = −1 et x → ∞ pour les autres coefficients.)

(b) Calculer ∫ f(x) dx et ∫ g(x) dx.

Solution: ∫ f(x) dx = −\frac{2}{x} − ln |x| + \frac{4}{3} ln |1 + x| − \frac{1}{6} ∫ \frac{2x−1+3}{x^{2}−x+1} dx + C (N.B. : C différente sur ]−∞, −1[ , ]−1, 0[ , ℝ_{+}^{∗}!) et le dernier terme devient

\frac{1}{2} ln(x^{2} − x + 1) + \sqrt{3} arctan u avec u = \sqrt{\frac{4}{3}}(x − \frac{1}{2}) (voir C de l’ex. 10)

Exercice 12. Calculer les primitives

A = ∫ \frac{x^{3} + 1}{x(x − 1)^{2}} dx , B = ∫ \frac{e^{x} − 1}{e^{x} + 1} dx ,

D = ∫ \frac{x^{3}}{(x^{2} + 1)^{3}} dx , (^{∗}) E = ∫ \frac{dx}{sin x} , F = ∫ \sqrt{\frac{x − 1}{x + 1}} dx .

Solution: A : ∫ \frac{x^{3} − 2x^{2} + x + 2x^{2} − x + 1}{x^{3} − 2x^{2} + x} dx = ∫ 1 + \frac{1 − x + 2x^{2}}{x(1 − 2x + x^{2})} dx =

x + ∫ \frac{1 − 2x + x^{2} + x(1 + x)}{x(1 − x)^{2}} dx = x + ∫ \frac{1}{x} + \frac{1 + x}{(x − 1)^{2}} dx = x + ln x +

∫ \frac{t + 2}{t^{2}} dx = x + ln x + ln |x − 1| − \frac{2}{x − 1} + C (avec t = x − 1, x = 1 + t).

B : avec u = e^{x}, du = e^{x}dx, B(x) = ∫ \frac{u−1}{u+1} \frac{du}{u} = ∫ \frac{1}{u + 1} − \frac{1}{u(u + 1)} dx =

∫ \frac{1}{u + 1} − \frac{1}{u} + \frac{1}{u + 1} dx = 2 ln(e^{x} + 1) − x + C.

(NB : en écrivant −x = 2 ln e^{−x/2}, on a B(x) = ∫ th x dx = 2 ln(ch \frac{x}{2}) + C′.

D(x) = ∫ \frac{x(x^{2} + 1) − x}{(x^{2} + 1)^{3}} dx = ∫ \frac{x}{(x^{2} + 1)^{2}} − \frac{x}{(x^{2} + 1)^{3}} dx = \frac{−1/2}{x^{2} + 1} +

\frac{1/4}{(x^{2} + 1)^{2}} . (Si on fait la décomp.formelle de façon générique, observer que

c(x) est impaire pour n’avoir que des termes linéaires aux numérateurs.)

E : u = cos x, du = − sin x dx, e = ∫ \frac{−du}{1 − u^{2}} ; \frac{1}{u^{2} − 1} = \frac{1/2}{u − 1} − \frac{1/2}{u + 1} ⟹

E = \frac{1}{2} ln \frac{|u − 1|}{|u + 1|} + C = \frac{1}{2} ln \frac{1 − cos x}{1 + cos x} + C.

F : (fraction rationelle d’une n^{e} racine d’une homographie : donné en cours.)

y = \sqrt{\frac{x − 1}{x + 1}} ⟹ x = \frac{1 + y^{2}}{1 − y^{2}} , dx = \frac{4 y dy}{(1 − y^{2})^{2}} , F = ∫ \frac{4y^{2} dy}{(1 − y^{2})^{2}} =

ln |y − 1| − ln |y + 1| − \frac{1}{y − 1} − \frac{1}{y + 1} + C = ln \frac{|1 − y|}{1 + y} + \frac{2y}{1 − y^{2}} + C.