Université Antilles–Guyane DEUG MIAS 1^{e} année UFR Sciences Exactes et Naturelles Module MIP 2 Dépt Scientifique Interfacultaire 2^{e} semestre 2003–2004

Mathématiques 2 / Analyse — T.D. série n^{∘} 2 :

Equations différentielles.

équations différentielles du premier ordre

Exercice 1. En séparant les variables, résoudre les équations différentielles

(a)  (1 + x^{2}) y′ = x (1 − y) ,  (E_{1})
(b)  (1 + tan^{2} x) y′ + (1 + y^{2}) sin x = 0 .  (E_{2})

Donner la solution en fonction de y_{0} ∈ ℝ, valeur de la solution en x = 0. Pour quelles valeurs de y_{0} la solution à (E_{2}) est-elle définie sur tout ℝ?

Exercice 2. Résoudre, sur I = ] − \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [, l’équation différentielle

(cos x) y′ + (sin x) y = 1 + x .  (E_{3})

(Rappeller le type de (E), la structure de l’ensemble des solutions ; résoudre l’équation homogène, puis (E) avec second membre (variation de la c^{te}).

Exercice 3. Résoudre, sur I = ] 0, +∞ [, l’équation différentielle

x y′ + (x − 1) y − x^{2} = 0 .  (E_{4})

Exercice 4. Résoudre, à l’aide du changement de variable indiqué, les équations (a) de Ricatti : y′ = (y − 1)(x y − y − x) sur ℝ, en posant y = 1 + 1/u .

(b) de Bernoulli : y′ cos x + y sin x + y^{3} = 0 sur I = ]−1, 1[ , u = 1/y^{2} .

équations différentielles linéaires du 2^{nd} ordre

Exercice 5. Résoudre les équations différentielles suivantes :

(a) y′′ + y′ − 6 y = e^{x}  (b) y′′ − 4 y′ + 4 y = x ch x
(c)  y′′ − 9y = sin(3 x) (d) y′′ − 2 y′ + 2 y = e^{x} cos x

Exercice 6. Chercher une solution particulière à l’équation différentielle

y′′ + b y′ + c y = P (x) e^{αx}

sous la forme y_{p} = Q(x) e^{αx}, pour b, c ∈ ℝ et P ∈ ℝ[X] donnés. (Traiter d’abord le cas b = −2, α, c = α^{2}, puis c = −b α − α^{2} ; trouver les coefficients b_{n}, b_{n−1}, ... du polynôme Q en fonction de ceux de P.)