Université Antilles–Guyane DEUG MIAS 1^{e} année UFR Sciences Exactes et Naturelles Modules MIP 2 Dépt Scientifique Interfacultaire 2^{e} semestre 2002–2003

Mathématiques 2 / Analyse — T.D. série n^{∘} 2 : Développements limités.

Généralités ; D.L. de fonctions élémentaires.

Exercice 1. Montrer que f =_{(a)} o(f) ⟹ f = o sur un voisinage de a.

Exercice 2. Montrer qu’une fonction polynômiale f de degré d admet un DL_{n}(0)

(développement limité d’ordre n au voisinage de 0), pour tout n ∈ ℕ. Exercice 3. Montrer que si f : ℝ → ℝ admet un DL_{n}(0), alors ce D.L. est unique. Exercice 4. En utilisant la formule de Taylor-Lagrange, montrer que

(a) ∀x ∈ ℝ : |e^{x} −x−1| ≤ \frac{1}{2} x^{2} e^{|x|} , (b) ∀x ∈ ℝ_{+} : x− \frac{1}{2}x^{2} ≤ ln(1+x) ≤ x .

Exercice 5. Déterminer le DL_{n}(0) des fonctions suivantes :

(a) x ↦ ch x = \frac{1}{2}(e^{x} + e^{−x}) (n = 2p + 1 avec p ∈ ℕ)

(b) x ↦ sh x = \frac{1}{2}(e^{x} − e^{−x}) (n = 2p + 2 avec p ∈ ℕ)
(c) x ↦ e^{x} sin x (n = 5)
(d) x ↦ arctan x (n = 2p + 2 avec p ∈ ℕ)

Exercice 6. Déterminer les D.L. suivants :

(a) DL_{4}(1) de x ↦ \frac{ln x}{x^{2}}, (b) DL_{2}(∞) de x ↦ x − \sqrt[4]{x^{4} − x^{3}},

(c) DL_{4}(\frac{π}{6}) de x ↦ (sin 2x)^{2}. Exercice 7. On rappelle que ∀x ∈ [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}] : arcsin(sin x) = x , ∀x ∈ [−1, 1] : arccos x = \frac{π}{2} − arcsin x .

(a) Déterminer le DL_{3}(0) de x ↦ arcsin x à l’aide du D.L. de x ↦ sin x.

(b) En déduire le DL_{3}(0) de la fonction x ↦ arccos x.

Recherche de fonctions équivalentes et limites

Exercice 8. Déterminer un équivalent, au voisinage de x_{0}, des fonctions

f(x) = \frac{1}{sin x} − \frac{1}{tan x} (x_{0} = 0) , g(x) = 2^{x} − x^{2} (x_{0} = 2) .

Exercice 9. A l’aide de D.L., calculer les limites suivantes :

ℓ_{1} = lim_{x→0} \frac{e^{x} − cos x − x}{x − ln(1 + x)} , ℓ_{2} = lim_{x→1} \frac{x ln x + 1 − x}{(x − 1) ln x} , ℓ_{3} = lim_{x→0} \frac{x cos x − sin x}{x^{3}} .

Exercice 10. Pour α ∈ ℝ, calculer à l’aide d’un D.L. la limite lim_{x→∞} (1 + \frac{α}{x})^{x} .

Branches infinies et étude locale de fonctions

Exercice 11. Donner, à l’aide de D.L., au voisinage de ∞ et −∞, l’asymptote et

la position par rapport à l’asymptote, de la courbe d’équation y = \frac{x^{2}}{1 + x}e^{1/x}.

Exercice 12. Démontrer que la fonction exp est convexe sur ℝ, en appliquant le théorème des accroisements finis, sur tout segment [a, b] ⊂ ℝ et pour tout λ ∈ [0, 1], à la fonction f_{λ} définie par

f_{λ}(x) = e^{a+λ(x−a)} − (1 − λ)e^{a} − λ e^{x} .

Exercice 13. A l’aide d’un D.L. étudier la convexité et la concavité locale au voisinage de x_{0} ainsi que la nature (extréma, point d’inflexion) du point (x_{0}, f(x_{0})), et donner l’équation de la tangente en ce point, pour

f(x) = 2x^{3} − 3x^{2} − 12x + 2 et x_{0} ∈ \{ −1, \frac{1}{2}, 2 \} .

Exercice 14. Soit f la fonction définie sur ]−\frac{π}{4}, 0[ ∪ ]0, \frac{π}{4}[ par

f(x) = \frac{g(x)}{tan x} avec g(x) = e^{\sqrt{1 + sin x}} − e .

(a) Calculer le DL_{3}(0) de g.

(b) Montrer que f admet un prolongement par continuité en 0.

(c) Notons f̃ ce prolongement de f. Montrer que f̃ est dérivable en 0.

(d) Donner l’équation de la tangente (t) au graphe de f̃ au point (0, f̃(0)).

(e) Préciser la position du graphe de f̃ par rapport à (t) au voisinage de 0.

Exercices supplémentaires

Exercice 15. Ecrire les DL_{n}(0) des fonctions suivantes :

f(x) = \frac{exp x}{\sqrt{1 + x}} (n = 4) , g(x) = a^{x} (a > 0, n ∈ ℕ) , th(x) = \frac{sh x}{ch x} (n = 6) .

Exercice 16. A l’aide de DL, calculer les limites suivantes si elles existent :

ℓ_{1} = lim_{x→0} \frac{(1 − cos x) arcsin x}{x − tan^{2} x} , ℓ_{2} = lim_{x→0} \frac{1 − cos x}{x sin x} ; ℓ_{3} = lim_{x→1} \frac{x^{x} − x}{1 − x + ln x} .

Exercice 17. A l’aide de D.L., calculer, selon la valeur du paramètre m ∈ ℝ, les limites suivantes si elles existent

lim_{x→0} \frac{x^{3}}{sin x − mx} ; lim_{x→1} (\frac{1}{ln x} − \frac{m}{x − 1}) .

Exercice 18. A l’aide de D.L., étudier les branches infinies de la courbe représentative de la fonction f(x) = \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} − 1} .