Université Antilles–Guyane DEUG MIAS 1^{e} année UFR Sciences Exactes et Naturelles Module MIP2 Dépt Scientifique Interfacultaire 2^{e} semestre 2003-2004

Algèbre Linéaire — Travaux Dirigés, série 2 : Sous-espaces vectoriels, Appplications linéaires

Exercice 0. (Révision du cours — à faire avant le T.D. !)

(a) Revoir les définitions du deuxième cours :

• Sous-espace vectoriel (s.e.v.)

• Notations ensemblistes : A + B ; 𝕂 x ...

• Applications (𝕂–) linéaires d’un 𝕂–e.v. E vers un 𝕂–e.v. F : L(E, F) ; endo-, iso-, automorphisme ; forme linéaire.

• Noyau et image de f ∈ L(E, F)

(b) Bien connaître les caractérisations pratiques :

• Une partie F d’un 𝕂–e.v. E est s.e.v. de E ⟺ F non-vide, stable par + et par multiplication scalaire ⟺ o_{E} ∈ F, F + F ⊂ F, 𝕂 · F ⊂ F ⟺ o_{E} ∈ F, F + 𝕂 · F ⊂ F. (\underline{Developper ceci} : 𝕂 · F ⊂ F ⟺ ∀λ ∈ 𝕂, ∀x ∈ F : λ · x ∈ F, ...)

• f : E → F est 𝕂–linéaire si et seulement si :

E, F sont 𝕂–e.v., et ∀λ ∈ 𝕂, ∀x, y ∈ E : f(x + λy) = f(x) + λf(y) .

• f ∈ L(E, F) est injective ssi ker f = {o_{E}} (et surjective ssi im f = F).

Sous espaces vectoriels

Exercice 1. (a) Pour E = ℝ^{3} et a ∈ ℝ fixé, on pose F_{a} := {(x, y, a); x, y ∈ ℝ}.

Montrer que F_{a} est sous-espace vectoriel de E si et seulement si a = 0.

(b) Soit E = ℝ^{I} le ℝ–e.v. des applications numériques définies sur I ⊂ ℝ. On fixe x_{0} ∈ I et a ∈ ℝ. Montrer que F_{a} = {f ∈ E | f(x_{0}) = a} est s.e.v. de E si et seulement si a = 0. Comparer avec le (a).

Exercice 2. Lesquels des ensembles suivants sont s.e.v. du ℝ-e.v. E = ℝ^{ℝ}? (a) A_{0} = {f ∈ E | f(0)^{2} + f(1)^{2} = 0}, A_{1} = {f ∈ E | (f(0) + f(1))^{2} = 0} (b) les fcts à support borné, B = {f ∈ E | ∃M > 0 : |x| > M ⇒ f(x) = 0} (c) fonctions croissantes, C = {f ∈ E | ∀x, y ∈ ℝ : x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y)} (d) D = C − C = {f ∈ E | ∃g, h ∈ C : f = g − h}

(e) les fonctions bornées ; n fois dérivables ; polynômiales ; ∼ de degré n.

(f) F_{α} = {f ∈ E | ∀x ∈ ℝ_{+} : f(−x) = αf(x)}, α ∈ ℝ fixé. (F_{0}, F_{±1} = ?)

(g) G = {x ↦ a sin x + b cos x ; a, b ∈ ℝ}

(h) Donner un autre exemple intéressant de sev de E, et un contre-exemple.

Exercice 3. Montrer que ℝ^{(ℕ)}, les suites nulles sauf un nombre fini de termes, est un sev de ℝ^{ℕ}. Identifier ℝ^{(ℕ)} avec les polynômes ℝ[X]. (Isomorphisme ?)

Exercice 4. Soit F un s.e.v. d’un e.v. E. Montrer que H = (E \ F) ∪ {0} est un s.e.v. si et seulement si F = {0} ou F = E.

Applications linéaires

Exercice 5. (a) Les applications suivantes sont-elles linéaires ?

f : \begin{matrix}ℝ^{3} & → ℝ \\ (x, y, z) & ↦ x + y + z \end{matrix} , g : \begin{matrix}ℝ^{2} & → ℝ^{3} \\ (x, y) & ↦ (2 y, x − y, x) \end{matrix} , h : \begin{matrix}ℝ^{2} & → ℝ \\ (x, y) & ↦ xy \end{matrix} ,

j : \begin{matrix}ℝ^{2} & → ℝ^{ℝ} \\ (a, b) & ↦ a · sin +b · cos \end{matrix} , k : \begin{matrix}(ℝ, +, ·) & → (ℝ_{+}^{∗}, ⊕, ⋆) \\ x & ↦ e^{x} \end{matrix} (cf. exo 4)

(b) Parmi f, g, h, k, lesquelles sont injectives, surjectives ?

Exercice 6. Montrer que pour des applications linéaires f, g ∈ L(E, E), les applications f + g, λf (λ ∈ 𝕂) et g ∘ f sont encore linéaires. (Pour lequel de ces résultats faut-il utiliser la commutativité de 𝕂?)

Exercice 7. Définir l’application � dérivée � d’un polynôme, et montrer que c’est une application linéaire. Quel est le noyau de la � n^{e} dérivée � ?

Exercice 8. (a) Soit v = (v_{1}, v_{2}) la famille des deux vecteurs v_{1} = (0, 1, 1) et v_{2} = (2, −1, 0). Montrer que l’application Ψ_{v} : ℝ^{2} → ℝ^{3}, (λ_{1}, λ_{2}) ↦ λ_{1}v_{1} + λ_{2}v_{2} est linéaire et injective. Comparer avec g de l’exercice 5.

(b) Généraliser Ψ_{v} à une famille v = (v_{1}, ..., v_{n}) de n vecteurs d’un 𝕂–ev E.

(c) Généraliser à des familles (v_{i})_{i∈I} quelconques d’élements d’un 𝕂–ev E. (Utiliser 𝕂^{(I)} = {(λ_{i})_{i∈I} ∈ 𝕂^{I} | card {i | λ_{i} ≠ 0} < ∞}.) Comparer Ψ_{v} pour la famille v = (X^{i})_{i∈ℕ} de ℝ[X]^{ℕ} à l’isomorphisme de l’exo 3.

Exercice 9. Soient E, F, G des 𝕂-ev, f ∈ L(E, F) surjective sur F, et g une application de F dans G. Montrer que si g ∘f est linéaire, alors g est linéare.

Exercice 10. Soit E un 𝕂-ev. Montrer que l’application φ de L(𝕂, E) dans E définie par φ(f) = f(1) est un isomorphisme de 𝕂-ev.

Exercice 11. Soient E, F, G des 𝕂-ev, u ∈ L(E, F), v ∈ L(F, G). Montrer que

\begin{matrix}u^{∗} : L(F, G) & → L(E, G) \\ w & ↦ w ∘ u \end{matrix} et \begin{matrix}v_{∗} : L(E, F) & → L(E, G) \\ w & ↦ v ∘ w \end{matrix} sont linéaires.

Exercice 12. Soit E = 𝕂[X] et E_{n} = {P ∈ E; deg P ≤ n} où n ∈ ℕ. Soit φ l’application de E dans E définie par φ(P) = XP′ + P, où P′ désigne la dérivée de P.

(a) Montrer que φ est un endomorphisme de E et que la restriction φ_{n} de φ à E_{n} est un endomorphisme de E_{n}.

(b) Montrer que φ_{n} est surjective.

(c) Déterminer les polynômes P ∈ E_{n} et les scalaires λ tels que φ(P) = λP. En déduire que φ est un automorphisme de E.

Exercice 13. Soit E un 𝕂-ev et u ∈ L(E). Pour P = a_{0} + a_{1}X + ... + a_{n}X^{n}, on pose P (u) = a_{0} id_{E} +a_{1}u + ... + a_{n}u^{n}, avec u^{k} := u ∘ u ∘ ⋯ ∘ u (k fois).

(a) Montrer que pour tout P, Q ∈ 𝕂[X], on a (P Q)(u) = P (u) ∘ Q(u).

(b) Si u n’est pas injectif, montrer que : ker u ⊂ ker P (u) ⟺ P (0) = 0.

(c) Montrer que si P (0) ≠ 0 alors ker P (u) ⊂ im u.