Université Antilles–Guyane DEUG MIAS 1^{e} année UFR Sciences Exactes et Naturelles Module MIP2 Dépt Scientifique Interfacultaire 2^{e} semestre 2002-2003

Algèbre Linéaire — Travaux Dirigés^{(∗)}, série 2 : Sous-espaces vectoriels, Appplications linéaires

(RP) Exercice 6. Revoir les définitions du deuxième cours :

• Sous-espace vectoriel (s.e.v.) : partie qui est e.v. pour les lois induits

• Notations ensemblistes : A + B = {a + b; a ∈ A, b ∈ B}; 𝕂 x = 𝕂 · {x}...

• Application (𝕂–)linéaire du 𝕂–e.v. E sur le 𝕂–e.v. F : f ∈ L(E, F) ⟺ f : E → F t.q. ∀x, y ∈ E, ∀λ ∈ 𝕂 : f(x + y) = f(x) + f(y), f(λx) = λf(x). Endo- (F = E), iso- (bijective), automorphisme, forme linéaire (F = 𝕂).

• Noyau, image de f ∈ L(E, F) : ker f = f^{−1}({o_{F} }) ; im f = f(E).

(RP) Exercice 7. Bien connaître les caractérisations pratiques :

• Une partie F d’un 𝕂–e.v. E est s.e.v. de E ⟺ o_{E} ∈ F, F + 𝕂 · F ⊂ F ⟺ o_{E} ∈ F, 𝕂 · F + 𝕂 · F ⊂ F ⟺ F ≠ ∅, F + F ⊂ F, 𝕂 · F ⊂ F ⟺ F non-vide, stable par + et par multiplication scalaire. (\underline{Expliciter ces formules}, p.ex. : 𝕂 · F ⊂ F ⟺ ∀λ ∈ 𝕂, ∀x ∈ F : λ · x ∈ F.)

• f : E → F est 𝕂–linéaire ssi E, F sont 𝕂–e.v. et ∀λ, μ ∈ 𝕂, ∀x, y ∈ E : f(λx + μy) = λf(x) + μf(y) (ou simplement : f(x + λy) = f(x) + λf(y) ).

• f ∈ L(E, F) est injective ssi ker f = {o_{E}} (et surjective ssi im f = F).

(RP) Exercice 8. Comme exercice 3.

Sous espaces vectoriels

(AD) Exercice 9. (a) Pour E = ℝ^{3} et a ∈ ℝ fixé, on pose F_{a} := {(x, y, a); x, y ∈ ℝ}.

Montrer que F_{a} est sous-espace vectoriel de E si et seulement si a = 0.

(b) Soit E = ℝ^{I} le ℝ–e.v. des applications numériques définies sur I ⊂ ℝ. On fixe x_{0} ∈ I et a ∈ ℝ. Montrer que F_{a} = {f ∈ E | f(x_{0}) = a} est s.e.v. de E si et seulement si a = 0. Comparer avec le (a).

Exercice 10. Lesquels des ensembles suivants sont s.e.v. du ℝ-e.v. E = ℝ^{ℝ}?

(AD) (a) A_{0} = {f ∈ E | f(0)^{2} + f(1)^{2} = 0}, A_{1} = {f ∈ E | (f(0) + f(1))^{2} = 0} (AD) (b) les fcts à support borné, B = {f ∈ E | ∃M > 0 : |x| > M ⇒ f(x) = 0} (AD) (c) fonctions croissantes, C = {f ∈ E | ∀x, y ∈ ℝ : x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y)} (EX) (d) D = C − C = {f ∈ E | ∃g, h ∈ C : f = g − h} (AD) (e) les fonctions bornées ; n fois dérivables ; polynômiales ; ∼ de degré n. (AD) (f) F_{α} = {f ∈ E | ∀x ∈ ℝ_{+} : f(−x) = αf(x)}, α ∈ ℝ fixé. (F_{0}, F_{±1} = ?) (AD) (g) G = {x ↦ a sin x + b cos x ; a, b ∈ ℝ} (EX) (h) Donner un autre exemple intéressant de sev de E, et un contre-exemple.

(∗) RP = révision du cours / préparation du T.D. (obligatoire; revu en T.D. seulement sur

demande !) ; AD = application directe du cours ; EX = exercice ; PB = problème.

(EX) Exercice 11. Montrer que ℝ^{(ℕ)}, les suites nulles sauf un nombre fini de termes, est un sev de ℝ^{ℕ}. Identifier ℝ^{(ℕ)} avec les polynômes ℝ[X]. (Isomorphisme ?)

(PB) Exercice 12. Soit F un s.e.v. d’un e.v. E. Montrer que H = (E \ F) ∪ {0} est un s.e.v. si et seulement si F = {0} ou F = E.

Applications linéaires

(AD) Exercice 13. (a) Les applications suivantes sont-elles linéaires ?

f : \begin{matrix}ℝ^{3} & → ℝ \\ (x, y, z) & ↦ x + y + z \end{matrix} , g : \begin{matrix}ℝ^{2} & → ℝ^{3} \\ (x, y) & ↦ (2 y, x − y, x) \end{matrix} , h : \begin{matrix}ℝ^{2} & → ℝ \\ (x, y) & ↦ xy \end{matrix} ,

j : \begin{matrix}ℝ^{2} & → ℝ^{ℝ} \\ (a, b) & ↦ a · sin +b · cos \end{matrix} , k : \begin{matrix}(ℝ, +, ·) & → (ℝ_{+}^{∗}, ⊕, ⋆) \\ x & ↦ e^{x} \end{matrix} (cf. exo 5)

(b) Parmi f, g, h, k, lesquelles sont injectives, surjectives ?

(EX) Exercice 14. Montrer que pour des applications linéaires f, g ∈ L(E, E), les applications f + g, λf (λ ∈ 𝕂) et g ∘ f sont encore linéaires. (Pour lequel de ces résultats faut-il utiliser la commutativité de 𝕂?)

(EX) Exercice 15. Définir l’application � dérivée � d’un polynôme, et montrer que c’est une application linéaire. Quel est le noyau de la � n^{e} dérivée � ?

(AD) Exercice 16. (a) Soit v = (v_{1}, v_{2}) la famille des deux vecteurs v_{1} = (0, 1, 1) et v_{2} = (2, −1, 0). Montrer que l’application Ψ_{v} : ℝ^{2} → ℝ^{3}, (λ_{1}, λ_{2}) ↦ λ_{1}v_{1} + λ_{2}v_{2} est linéaire et injective. Comparer avec g de l’exercice 13.

(EX) (b) Généraliser Ψ_{v} à une famille v = (v_{1}, ..., v_{n}) de n vecteurs d’un 𝕂–ev E. (PB) (c) Généraliser à des familles (v_{i})_{i∈I} quelconques d’élements d’un 𝕂–ev E.

(Utiliser 𝕂^{(I)} = {(λ_{i})_{i∈I} ∈ 𝕂^{I} | card {i | λ_{i} ≠ 0} < ∞}.) Comparer Ψ_{v} pour la famille v = (X^{i})_{i∈ℕ} de ℝ[X]^{ℕ} à l’isomorphisme de l’exo 11.

(PB) Exercice 17. Soient E, F, G des 𝕂-ev, f ∈ L(E, F) surjective sur F, et g une application de F dans G. Montrer que si g ∘f est linéaire, alors g est linéare.

(EX) Exercice 18. Soit E un 𝕂-ev. Montrer que l’application φ de L(𝕂, E) dans E définie par φ(f) = f(1) est un isomorphisme de 𝕂-ev.

(EX) Exercice 19. Soient E, F, G des 𝕂-ev, u ∈ L(E, F), v ∈ L(F, G). Montrer que

\begin{matrix}u^{∗} : L(F, G) & → L(E, G) \\ w & ↦ w ∘ u \end{matrix} et \begin{matrix}v_{∗} : L(E, F) & → L(E, G) \\ w & ↦ v ∘ w \end{matrix} sont linéaires.

Exercice 20. Soit E = 𝕂[X] et E_{n} = {P ∈ E; deg P ≤ n} où n ∈ ℕ. Soit φ l’application de E dans E définie par φ(P) = XP′ + P, où P′ désigne la dérivée de P.

(AD) (a) Montrer que φ est un endomorphisme de E et que la restriction φ_{n} de

φ à E_{n} est un endomorphisme de E_{n}.

(PB) (b) Montrer que φ_{n} est surjective. (PB) (c) Déterminer les polynômes P ∈ E_{n} et les scalaires λ tels que φ(P) = λP.

En déduire que φ est un automorphisme de E.

(PB) Exercice 21. Soit E un 𝕂-ev et u ∈ L(E). Pour P = a_{0} + a_{1}X + ... + a_{n}X^{n}, on pose P (u) = a_{0} id_{E} +a_{1}u + ... + a_{n}u^{n}, avec u^{k} := u ∘ u ∘ ⋯ ∘ u (k fois).

(a) Montrer que pour tout P, Q ∈ 𝕂[X], on a (P Q)(u) = P (u) ∘ Q(u).

(b) Si u n’est pas injectif, montrer que : ker u ⊂ ker P (u) ⟺ P (0) = 0.

(c) Montrer que si P (0) ≠ 0 alors ker P (u) ⊂ im u.