Université Antilles–Guyane DEUG MIAS 1^{e} année UFR Sciences Exactes et Naturelles Modules MIP 2 Dépt Scientifique Interfacultaire 2^{e} semestre 2001–2002

Mathématiques 2 / Analyse — T.D. série n^{o} 1 :

Développements limités.

Généralités ; D.L. de fonctions élémentaires.

Exercice 1. Montrer qu’une fonction polynômiale f de degré d admet un DL_{n}(0) (développement limité d’ordre n au voisinage de 0), pour tout n ∈ ℕ.

Exercice 2. Montrer que si f : ℝ → ℝ admet un DL_{n}(0), alors ce D.L. est unique.

Exercice 3. En utilisant la formule de Taylor-Lagrange, montrer que

(a) ∀x ∈ ℝ : |e^{x} − x − 1| ≤ \frac{1}{2} x^{2} e^{|x|} , (b) ∀x ∈ ℝ_{+} : x − \frac{1}{6}x^{3} ≤ sin x ≤ x .

Exercice 4. Déterminer le DL_{n}(0) des fonctions suivantes :

(a) x ↦ ch x = \frac{1}{2}(e^{x} + e^{−x}) (n = 2p + 1 avec p ∈ ℕ)

(b) x ↦ sh x = \frac{1}{2}(e^{x} − e^{−x}) (n = 2p + 2 avec p ∈ ℕ)
(c) x ↦ e^{x} sin x (n = 5)
(d) x ↦ arctan x (n = 2p + 2 avec p ∈ ℕ)

Exercice 5. Déterminer les D.L. suivants :

(a) DL_{4}(1) de x ↦ \frac{ln x}{x^{2}},

(b) DL_{2}(∞) de x ↦ x − \sqrt[4]{x^{4} − x^{3}}.

Exercice 6. On rappelle que ∀x ∈ [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}] : arcsin(sin x) = x , ∀x ∈ [−1, 1] : arccos x = \frac{π}{2} − arcsin x .

(a) Déterminer le DL_{3}(0) de la fonction x ↦ arcsin x à l’aide du D.L. de la fonction x ↦ sin x.

(b) En déduire le DL_{3}(0) de la fonction x ↦ arccos x.

Recherche de fonctions équivalentes et limites

Exercice 7. Déterminer un équivalent, au voisinage de x_{0}, des fonctions

f(x) = \frac{1}{sin x} − \frac{1}{tan x} (x_{0} = 0) , g(x) = 2^{x} − x^{2} (x_{0} = 2) .

Exercice 8. A l’aide de D.L., calculer les limites suivantes :

ℓ_{1} = lim_{x→0} \frac{e^{x} − cos x − x}{x − ln(1 + x)} , ℓ_{2} = lim_{x→1} \frac{x ln x + 1 − x}{(x − 1) ln x} , ℓ_{3} = lim_{x→0} \frac{x cos x − sin x}{x^{3}} .

Exercice 9. Pour α ∈ ℝ, calculer à l’aide d’un D.L. la limite lim_{x→∞} (1 + \frac{α}{x})^{x} .

Branches infinies et étude locale de fonctions

Exercice 10. Donner, à l’aide de D.L., au voisinage de ∞ et −∞, l’asymptote et

la position par rapport à l’asymptote, de la courbe d’équation y = \frac{x^{2}}{1 + x}e^{1/x}.

Exercice 11. Démontrer que la fonction exp est convexe sur ℝ, en appliquant le théorème des accroisements finis, sur tout segment [a, b] ⊂ ℝ et pour tout λ ∈ [0, 1], à la fonction f_{λ} définie par

f_{λ}(x) = e^{a+λ(x−a)} − (1 − λ)e^{a} − λ e^{x} .

Exercice 12. A l’aide d’un D.L. étudier la convexité et la concavité locale au voisinage de x_{0} ainsi que la nature (extréma, point d’inflexion) du point (x_{0}, f(x_{0})), et donner l’équation de la tangente en ce point, pour

f(x) = 2x^{3} − 3x^{2} − 12x + 2 et x_{0} ∈ \{ −1, \frac{1}{2}, 2 \} .

Exercice 13. Soit f la fonction définie sur ]−\frac{π}{4}, 0[ ∪ ]0, \frac{π}{4}[ par

f(x) = \frac{g(x)}{tan x} avec g(x) = e^{\sqrt{1 + sin x}} − e .

(a) Calculer le DL_{3}(0) de g.

(b) Montrer que f admet un prolongement par continuité en 0.

(c) Notons f̃ ce prolongement de f. Montrer que f̃ est dérivable en 0.

(d) Donner l’équation de la tangente (t) au graphe de f̃ au point (0, f̃(0)).

(e) Préciser la position du graphe de f̃ par rapport à (t) au voisinage de 0.

Exercices supplémentaires

Exercice 14. Ecrire les DL_{n}(0) des fonctions suivantes :

f(x) = \frac{exp x}{\sqrt{1 + x}} (n = 4) , g(x) = a^{x} (a > 0, n ∈ ℕ) , h(x) = \frac{sh(x)}{ch x} (n = 6) .

Exercice 15. A l’aide de DL, calculer les limites suivantes si elles existent

ℓ_{1} = lim_{x→0} \frac{(1 − cos x) arcsin x}{x − tan^{2} x} , ℓ_{2} = lim_{x→0} \frac{1 − cos x}{x sin x} ; ℓ_{3} = lim_{x→1} \frac{x^{x} − x}{1 − x + ln x} .

Exercice 16. A l’aide de D.L., calculer, selon la valeur du paramètre m ∈ ℝ, les limites suivantes si elles existent

lim_{x→0} \frac{x^{3}}{sin x − mx} ; lim_{x→1} (\frac{1}{ln x} − \frac{m}{x − 1}) .

Exercice 17. A l’aide de D.L., étudier les branches infinies de la courbe représentative de la fonction

f(x) = \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} − 1} .

Annales 2000–2001

Exercice 18. Utiliser la formule de Taylor-Lagrange dans les questions suivantes

(a) Soit f(x) = 3 − 2x + 4x^{2} + x^{3} − x^{4} + x^{5}. Montrer qu’il existe des réels

a_{0}, a_{1}, ..., a_{5} tels que ∀x ∈ ℝ : f(x) = ∑_{k=0}^{5} a_{k}(x − 1)^{k}.

(b) Montrer que ∀x ∈ ℝ \ { 0 } , e^{x} > x + 1 et ∀x ∈ ℝ_{+}^{∗} \ { 1 } , ln x < x − 1.

(c) Montrer que ∀x ∈ ℝ_{+} : x− \frac{1}{2}x^{2} ≤ ln(1+x) ≤ x et x− \frac{1}{6}x^{3} ≤ sin x ≤ x. Exercice 19. Montrer que pour tout x ∈ ℝ on a

|e^{x} − x − 1| ≤ \frac{1}{2} x^{2} e^{|x|}

Exercice 20. Soit f : [a, b] → ℝ deux fois dérivable telle que |f′′(t)| ≤ k pour tout t ∈ ]a, b[. En appliquant la formule de Taylor-Lagrange aux intervalles [a, t] et [t, b], montrer que pour tout t ∈ ]a, b[ :

|f′(t)| ≤ \frac{|f(b) − f(a)|}{b − a} + k \frac{b − a}{2} .

Exercice 21. Soient f et ε deux fonctions définies sur ℝ telles que pour tout

x ∈ ℝ :

f(x) = 1 − 3x^{2} + 2x^{5} + x^{4} ε(x) avec lim_{x→0} ε(x) = 0 .

(a) Montrer que f admet un DL_{4}(0).

(b) Est-ce que f peut admettre un DL_{5}(0) ? (Considérer ε de la forme x^{α}.)

(c) Est-ce que f admet un DL_{3}(0) ?

(d) Prouver que f est dérivable en 0, et calculer f′(0). Exercice 22. Soit f(x) = x^{2} sin \frac{1}{x} pour x ∈ ℝ^{∗} et f(0) = 0.

(a) Montrer que f admet un DL_{1}(0).

(b) Montrer que f est dérivable sur ℝ.

(c) Montrer que f′ n’admet pas de DL(0) à aucun ordre. Exercice 23. Soit f : ]−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}[ définie par f(x) = tan(x). Exercice 24. Trouver le DL_{n}(0) des fonctions

f(x) = tan x (n = 5) , g(x) = tan^{2} x (n = 6) , h(x) = \frac{ln(1 + x)}{1 + x} (n = 4) ,
j(x) = \frac{x}{sin x} (n = 4) , k(x) = e^{cos x} (n = 6) , ℓ(x) = arcsin(x) (n = 3) .

Exercice 25. Calculer le DL_{4}(\frac{π}{6}) de (sin 2x)^{2}. Exercice 26. Calculer

lim_{x→0} \frac{e^{x} − e^{−x}}{x} , lim_{x→0} \frac{x − arctan x}{(sin x)^{3}} .

Exercice 27. On considère la fonction f définie sur ]−π, π[ par

f(x) = \begin{cases}\frac{1}{x} − \frac{1}{sin x} & si x ≠ 0 , \\ 0 & si x = 0 . \end{cases}

(a) Donner le DL_{4}(0) de f.

(b) En déduire que f est continue et dérivable en 0. Préciser f′(0). Exercice 28. Trouver les DL_{n}(∞) (D.L. généralisées au voisinage de l’infini) de

(a) \sqrt[3]{x^{3} + 1} − \sqrt{x^{2} + x} (n = 3),

(b) arctan x (n = 5). (Indication : ∀x ∈ ℝ : arctan x + arctan \frac{1}{x} = \frac{π}{2}). Exercice 29. Calculer

(a) lim_{x→1} x^{\frac{1}{1−x}} , (b) lim_{x→1} \frac{1}{ln x} − \frac{2}{x − 1} , (c) lim_{x→∞} (1 + \frac{a}{x})^{x} (a ∈ ℝ) .