Université Antilles–Guyane DEUG MIAS 1^{e} année UFR Sciences Exactes et Naturelles Modules MIP 2 Dépt Scientifique Interfacultaire 2^{e} semestre 2001–2002

Mathématiques 2 / Analyse — T.D. série n^{o} 1 :

Développements limités.

Généralités ; D.L. de fonctions élémentaires.

Exercice 1. Montrer qu’une fonction polynômiale f de degré d admet un DL_{n}(0) (développement limité d’ordre n au voisinage de 0), pour tout n ∈ ℕ.

Solution: D’après le thm de Taylor-Young, toute fonction n fois dérivable en 0 admet un DL_{n}(0), et on sait qu’une fonction polynomiale est C^{∞}. Mais plus simplement, on peut aussi observer qu’une fonction polynomiale f(x) = a_{0} + ... + a_{d}x^{d} est déjà écrite sous forme de DL_{n} avec reste nul (pour d ≤ n) ou avec reste x^{n}(a_{n+1}x + ... + a_{d}x^{d−n}) pour d > n.

Exercice 2. Montrer que si f : ℝ → ℝ admet un DL_{n}(0), alors ce D.L. est unique.

Solution: Soit f(x) = P (x − x_{0}) + (x − x_{0})^{n} ε(x) = Q(x − x_{0}) + (x − x_{0})^{n} η(x) (*) pour tout x ∈ I, avec P = a_{0} + .. + a_{n}X^{n}, Q = b_{0} + ... + b_{n}X^{n} ∈ ℝ_{n}[X], et lim_{x_{0}} ε = lim_{x_{0}} η = 0. En considérant lim_{x→x_{0}} de cette égalité (*), on trouve a_{0} = b_{0}. Si n = 0, cela donne alors aussi ε(x) = η(x). Sinon, on peut mettre (x − x_{0}) en facteur dans les deux membres de l’équation (*), et diviser par ce facteur. Ainsi on repart d’une équation du même type que (*) mais avec n remplacé par n − 1. On trouve alors successivement a_{1} = b_{1}, ..., a_{n} = b_{n} et ε = η, d’ou l’unicité du D.L.

Exercice 3. En utilisant la formule de Taylor-Lagrange, montrer que

(a) ∀x ∈ ℝ : |e^{x} − x − 1| ≤ \frac{1}{2} x^{2} e^{|x|} , (b) ∀x ∈ ℝ_{+} : x − \frac{1}{6}x^{3} ≤ sin x ≤ x .

Solution: (a) Avec la formule de Taylor-Lagrange, le DL_{1}(0) de e^{x} s’écrit e^{x} = 1 + x + \frac{1}{2}x^{2}e^{c} avec c ∈ [0, x], donc |e^{x} − 1 − x| = \frac{1}{2}x^{2}e^{c} ≤ \frac{1}{2}x^{2}e^{|x|} car e^{x} croissante et c ≤ |x| (avec égalité ssi x = 0).

(b) De même, sin x = sin 0 + (cos 0) x + \frac{1}{2}(− sin 0) x^{2} + \frac{1}{6}(− cos c)x^{3} = x − \frac{1}{6}x^{3} cos c avec c ∈ [0, x]. Or, cos c ≤ 1 et x^{3} ≥ 0 (pour x ∈ ℝ_{+}, donc −\frac{1}{6}x^{3} ≤ −\frac{1}{6}x^{3} cos c, d’où la première partie de l’inégalité. D’autre part, sin x = sin 0+ x cos c′ avec c′ ∈ [0, x] et cos c′ ≤ 1, d’où la 2e partie.

Exercice 4. Déterminer le DL_{n}(0) des fonctions suivantes :

(a) x ↦ ch x = \frac{1}{2}(e^{x} + e^{−x}) (n = 2p + 1 avec p ∈ ℕ)

(b) x ↦ sh x = \frac{1}{2}(e^{x} − e^{−x}) (n = 2p + 2 avec p ∈ ℕ)

(c) x ↦ e^{x} sin x (n = 5)

(d) x ↦ arctan x (n = 2p + 2 avec p ∈ ℕ)

Solution: Pour (a,b) on utilise que le DL d’une combinaison linéaire de fonctions est comb.lin. des DL, et celui de e^{x} : a_{n} = 1/n! (par exemple avec la formule de Taylor-Young). Donc, dans la demi-somme (resp. différence), il ne reste que les termes en puissances (im-)paires de x par rapport à e^{x}. Pour e^{x} sin x, on peut multiplier les deux DL mais aussi considérer la partie imaginaire de exp(x + i x) = e^{u} avec u = (1 + i) x. (C’est aussi une comb.lin. \frac{1}{2i}(X + X^{∗}) mais il est vrai que dans le cours les DL n’ont été définis qu’avec des coeff.réels.) On trouve e^{x} sin x = x + x^{2} + \frac{1}{3}x^{3} − \frac{1}{30}x^{5} + o(x^{5}). Enfin, le DL d’arctan s’obtient en “intégrant” celui de (1 + x^{2})^{−1} = 1 − x^{2} + x^{4} − +... + (−x^{2})^{p} + x^{2p+1}ε(x), d’ou (avec arctan 0 = 0 arctan x = x − x^{3}/3 + −... + (−1)^{p}x^{2p+1} + x^{2p+2}η(x)).

Exercice 5. Déterminer les D.L. suivants :

(a) DL_{4}(1) de x ↦ \frac{ln x}{x^{2}},

Solution: poser x = 1 + t, faire ln(1 + t) = t − t^{2}/2 + t^{3}/3 − t^{4}/4 + o(t^{4}) et 1/(1 + 2t + t^{2}) = 1 − (2t + t^{2}) + (2t + t^{2})^{2} − (2t)^{3} + o(t^{3}), développer pour trouver t − \frac{5}{2}t^{2} + \frac{13}{3}t^{3} − \frac{77}{12}t^{4} + o(t^{4}) et enfin réecrire ça avec t = x − 1 !

(b) DL_{2}(∞) de x ↦ x − \sqrt[4]{x^{4} − x^{3}}.

Solution: poser x = 1/t, mettre 1/t en facteur, utiliser (1 − t)^{1/4} = 1 − \frac{1}{4}t + \frac{1}{4} \frac{−3}{4}t^{2}/2 − \frac{1}{4} \frac{−3}{4} \frac{−7}{4}t^{3}/3! + o(t^{3}) pour trouver \frac{1}{4} + \frac{3}{32} \frac{1}{x} + \frac{7}{128} \frac{1}{x^{2}} + o(1/x^{2}).

Exercice 6. On rappelle que ∀x ∈ [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}] : arcsin(sin x) = x , ∀x ∈ [−1, 1] : arccos x = \frac{π}{2} − arcsin x .

(a) Déterminer le DL_{3}(0) de la fonction x ↦ arcsin x à l’aide du D.L. de la fonction x ↦ sin x.

Solution: arcsin est impaire (comme sin) donc le DL_{3}(0) est de la forme ax + bx^{3} + o(x^{3}). Ici un substitue pour x (composée de DL) le DL de sin x = x − \frac{1}{6}x^{3} + o(x^{3}). On développe en ne calculant que les termes d’ordre ≤ 3, et l’identifiaction avec x = arcsin(sin x) donne a = 1, b = \frac{1}{6}. [autres sol.possibles]

(b) En déduire le DL_{3}(0) de la fonction x ↦ arccos x.

Solution: On utilise la formule donné (si on veut : comb.lin. de DL)

Recherche de fonctions équivalentes et limites

Exercice 7. Déterminer un équivalent, au voisinage de x_{0}, des fonctions

f(x) = \frac{1}{sin x} − \frac{1}{tan x} (x_{0} = 0) , g(x) = 2^{x} − x^{2} (x_{0} = 2) .

Solution:

f(x) = \frac{1 − cos x}{sin x} = \frac{x^{2}/2 + o(x^{3})}{x + o(x)} = \frac{x}{2} + o(1)

Pour g on pose x = 2 + t et on a

g(x) = 2^{2+t} + (2 + t)^{2} = 4(e^{t ln 2} − (1 + t + t^{2}/2))
= 4 t (ln 2 − 1) + o(t) ∼ 4(ln 2 − 1)(x − 2) .

Exercice 8. A l’aide de D.L., calculer les limites suivantes :

ℓ_{1} = lim_{x→0} \frac{e^{x} − cos x − x}{x − ln(1 + x)} , ℓ_{2} = lim_{x→1} \frac{x ln x + 1 − x}{(x − 1) ln x} , ℓ_{3} = lim_{x→0} \frac{x cos x − sin x}{x^{3}} .

Solution: En développant les DL on trouve

ℓ_{1} = lim \frac{x^{2} + o(x^{2})}{x^{2}/2 + o(x^{2})} = 2

ℓ_{2} = lim_{t(=x−1)→0} \frac{(1 + t)t − t + o(t^{2})}{t^{2} + o(t^{2})} = 1

ℓ_{3} = lim −\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + o(1) = −\frac{1}{3}

Exercice 9. Pour α ∈ ℝ, calculer à l’aide d’un D.L. la limite lim_{x→∞} (1 + \frac{α}{x})^{x} .

Solution: écrire exp(x ln(1 + \frac{α}{x})) = exp(x(\frac{α}{x} + o(\frac{α}{x}))) = exp(α + o(1)) → e^{α}.

Branches infinies et étude locale de fonctions

Exercice 10. Donner, à l’aide de D.L., au voisinage de ∞ et −∞, l’asymptote et

la position par rapport à l’asymptote, de la courbe d’équation y = \frac{x^{2}}{1 + x}e^{1/x}.

Solution: On trouve le DL généralisé y = x + 1/2x − 1/3x^{2} + 3/8x^{3} + o(1/x^{3}), donc l’asymptote est y = x et la courbe au-dessus en +∞ et en dessous en −∞.

Exercice 11. Démontrer que la fonction exp est convexe sur ℝ, en appliquant le théorème des accroisements finis, sur tout segment [a, b] ⊂ ℝ et pour tout λ ∈ [0, 1], à la fonction f_{λ} définie par

f_{λ}(x) = e^{a+λ(x−a)} − (1 − λ)e^{a} − λ e^{x} .

Solution: Cet exo un peu “hors série” est surtout là pour rappeler les définitions de convexité : f convexe sur I ssi ∀a, b ∈ I, ∀λ ∈ [0, 1] : f(a + λ(b − a)) ≤ f(a) + λ(f(b) − f(a)). (Faire une représentation graphique, en utilisant que le λ ∈ [0, 1] est équivalent à x ∈ [a, b] avec x = a + λ(b − a) ⟺ λ = \frac{x−a}{b−a}.) En appliquant le TAF à f_{λ} on trouve l’inégalité ci-dessus pour f_{λ}, après avoir montré que e^{λ(b−a)} ≥ e^{−a}, ce qu’on montre aisément par exemple en passant par le log de cette inégalité.

Exercice 12. A l’aide d’un D.L. étudier la convexité et la concavité locale au voisinage de x_{0} ainsi que la nature (extréma, point d’inflexion) du point (x_{0}, f(x_{0})), et donner l’équation de la tangente en ce point, pour

f(x) = 2x^{3} − 3x^{2} − 12x + 2 et x_{0} ∈ \{ −1, \frac{1}{2}, 2 \} .

Solution: On a f(x) = 9−9(x+1)^{2}+o(x+1)^{2}+o(x+1)^{2} = −\frac{9}{2} − \frac{27}{2}(x− \frac{1}{2})+2(x− \frac{1}{2})^{3}+ o(x−\frac{1}{2})^{3} = −18+9(x−2)^{2}+o(x−2)^{2}, donc maximum(concave), pt.d’inflexion (concave à gauche et convexe à droite) resp. minimum(convexe) ; éq. de la tangente = termes de degré ≤ 1.

Exercice 13. Soit f la fonction définie sur ]−\frac{π}{4}, 0[ ∪ ]0, \frac{π}{4}[ par

f(x) = \frac{g(x)}{tan x} avec g(x) = e^{\sqrt{1 + sin x}} − e .

(a) Calculer le DL_{3}(0) de g.

(b) Montrer que f admet un prolongement par continuité en 0.

(c) Notons f̃ ce prolongement de f. Montrer que f̃ est dérivable en 0.

(d) Donner l’équation de la tangente (t) au graphe de f̃ au point (0, f̃(0)).

(e) Préciser la position du graphe de f̃ par rapport à (t) au voisinage de 0.

Solution:

(a) On substitue sin x = x − \frac{1}{6}x^{3} + o(x^{3}) dans \sqrt{(}1 + x) = 1 + \frac{1}{2}x − \frac{1}{8}x^{2} + \frac{1}{16}x^{3} +o(x^{3}) pour trouver \sqrt{1 + sin x} = 1+ \frac{1}{2}x− \frac{1}{8}x^{2} − \frac{1}{48}x^{3} +o(x^{3}). Pour le DL de g on sépare la constante 1 du DL précédent avant de substituer dans e^{x} = 1 + x + \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{6}x^{3} + o(x^{3}). Le premier terme s’annule avec le −e, et on trouve finalement

g(x) = \frac{e}{2}x − \frac{e}{16}x^{3} + o(x^{3})

(b) Il faut m.q. f admet une limite en 0. D’après ce qui précède, g(x) ∼ \frac{e}{2}x et tan x ∼ x, donc f ∼ \frac{e}{2} = lim_{0} f.

(c) En utilisant le résultat du (a), montrons que f̃ admet un DL_{1}(0), qui est le même que celui de f, quotient de g par tan. On a tan x = x+o(x^{2}) (fonction impaire), donc

f(x) = \frac{\frac{e}{2}x + o(x^{2})}{x + o(x^{2})} = \frac{\frac{e}{2} + o(x)}{1 + o(x)} = \frac{e}{2} + o(x) .

C’est le DL_{1}(0) (avec a_{1} = 0) de f et de f̃, qui est donc dérivable en 0 et f̃′(0) = 0.

(d) L’équation de la tangente est la partie régulière du DL_{1}(0), soit y = \frac{e}{2}.

(e) Il faut connaître le prochain coefficient non-nul du DL de f̃. Pour avoir le DL_{2}(0), il faut aussi le DL_{3}(0) de tan x = x + \frac{1}{3}x^{3} + o(x^{3}) (cf. cours : division sin x/ cos x, ou intégrer (tan x)′ = 1 + tan^{2} x = 1 + x^{2} + o(x^{2})). Ainsi

f(x) = \frac{\frac{e}{2}x + \frac{e}{16}x^{3} + o(x^{3})}{x + \frac{1}{3}x^{3} + o(x^{3})} = \frac{e}{2} − \frac{11}{48}e x^{2} + o(x^{2}) ,

en faisant une division selon les puiss.↗ ou en développant \frac{1}{1+u}, après simplification par x.

Exercices supplémentaires

Exercice 14. Ecrire les DL_{n}(0) des fonctions suivantes :

f(x) = \frac{exp x}{\sqrt{1 + x}} (n = 4) , g(x) = a^{x} (a > 0, n ∈ ℕ) , th(x) = \frac{sh x}{ch x} (n = 6) .

Solution: Div.selon puiss.↗ ou ecrire \frac{1}{\sqrt{·}} = e^{− \frac{1}{2} ln ·} donne

f(x) = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^{2} − \frac{1}{48}x^{3} + \frac{41}{384}x^{4} + o(x^{4}) ,

g(x) = 1 + x ln a + \frac{1}{2}(x ln a)^{2} + ... + \frac{1}{n!}(x ln a)^{n} + o(x^{n}) ,

th(x) = x − \frac{1}{3}x^{3} + \frac{2}{15}x^{5} + o(x^{6}) .

(NB : lien entre sh,ch,th et sin,cos,tan !)

Exercice 15. A l’aide de DL, calculer les limites suivantes si elles existent :

ℓ_{1} = lim_{x→0} \frac{(1 − cos x) arcsin x}{x − tan^{2} x} , ℓ_{2} = lim_{x→0} \frac{1 − cos x}{x sin x} ; ℓ_{3} = lim_{x→1} \frac{x^{x} − x}{1 − x + ln x} .

Solution:

ℓ_{1} = x lim \frac{(x^{2}/2 + o(x^{2}))(x + o(x)}{x + o(x)} = lim \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2}) = 0

(plus simple : observer arcsin x/(x − tan^{2} x) ∼ x/x = 1)

ℓ_{2} : 1 − cos x ∼ \frac{1}{2}x^{2}, x sin x ∼ x^{2} ⟹ ℓ_{2} = \frac{1}{2} .

ℓ_{3} : avec x^{x} = e^{x ln x} et x = 1 + t, on trouve ℓ_{3} = −2 .

Exercice 16. A l’aide de D.L., calculer, selon la valeur du paramètre m ∈ ℝ, les limites suivantes si elles existent

lim_{x→0} \frac{x^{3}}{sin x − mx} ; lim_{x→1} (\frac{1}{ln x} − \frac{m}{x − 1}) .

Solution: On a sin x − mx = x(1 − m) − \frac{1}{6}x^{3} + o(x^{3}), donc la première limite est nulle si m ≠ 1 et égale à 6 si m = 1. Avec x = 1 + t ⟹ ln x ∼ t le premier terme est ∼ \frac{1}{t}, pour avoir une limite finie il faut donc m = 1, auquel cas on met \frac{1}{t} en facteur de (1/(1 − \frac{1}{2}t + o(t)) − m = \frac{1}{2}t + o(t), d’où la limite \frac{1}{2}.

Exercice 17. A l’aide de D.L., étudier les branches infinies de la courbe représentative de la fonction

f(x) = \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} − 1} .

Solution: En mettant \sqrt{x^{2}} = |x| en facteur et en développant (1 ± \frac{1}{x^{2}} )^{\frac{1}{2}} = 1 ± \frac{1}{2} \frac{1}{x^{2}} −

\frac{1}{8} \frac{1}{x^{4}} + o (\frac{1}{x^{4}} ) , on trouve f(x) = 2|x| − \frac{1}{4 |x|^{3}} + o (\frac{1}{x^{3}} ); C_{f} est donc en-dessous

de l’asymptote y = 2x (pour x → +∞) resp. y = −2x (pour x → −∞). (On peut aussi utiliser que f est paire pour déduire x → −∞ de x → ∞.)

Annales 2000–2001

Exercice 18. Utiliser la formule de Taylor-Lagrange dans les questions suivantes.

(a) Soit f(x) = 3 − 2x + 4x^{2} + x^{3} − x^{4} + x^{5}. Montrer qu’il existe des réels a_{0}, a_{1}, ..., a_{5} tels que ∀x ∈ ℝ : f(x) = ∑_{k=0}^{5} a_{k}(x − 1)^{k}.

(b) Montrer que ∀x ∈ ℝ \ { 0 } , e^{x} > x + 1 et ∀x ∈ ℝ_{+}^{∗} \ { 1 } , ln x < x − 1.

(c) Montrer que ∀x ∈ ℝ_{+} : x− \frac{1}{2}x^{2} ≤ ln(1+x) ≤ x et x− \frac{1}{6}x^{3} ≤ sin x ≤ x.

Exercice 19. Montrer que pour tout x ∈ ℝ on a

|e^{x} − x − 1| ≤ \frac{1}{2} x^{2} e^{|x|}

Solution: Avec la formule de Taylor-Lagrange, le DL_{1}(0) de e^{x} s’écrit e^{x} = 1+x+ \frac{1}{2}x^{2}e^{c} avec c ∈ [0, x], donc |e^{x} − 1 − x| = \frac{1}{2}x^{2}e^{c} ≤ \frac{1}{2}x^{2}e^{|x|} car e^{x} croissante et c ≤ |x| (avec égalité ssi x = 0).

Exercice 20. Soit f : [a, b] → ℝ deux fois dérivable telle que |f′′(t)| ≤ k pour tout t ∈ ]a, b[. En appliquant la formule de Taylor-Lagrange aux intervalles [a, t] et [t, b], montrer que pour tout t ∈ ]a, b[ :

|f′(t)| ≤ \frac{|f(b) − f(a)|}{b − a} + k \frac{b − a}{2} .

Exercice 21. Soient f et ε deux fonctions définies sur ℝ telles que pour tout

x ∈ ℝ :

f(x) = 1 − 3x^{2} + 2x^{5} + x^{4} ε(x) avec lim_{x→0} ε(x) = 0 .

(a) Montrer que f admet un DL_{4}(0).

(b) Est-ce que f peut admettre un DL_{5}(0) ? (Considérer ε de la forme x^{α}.)

(c) Est-ce que f admet un DL_{3}(0) ?

(d) Prouver que f est dérivable en 0, et calculer f′(0). Exercice 22. Soit f(x) = x^{2} sin \frac{1}{x} pour x ∈ ℝ^{∗} et f(0) = 0.

(a) Montrer que f admet un DL_{1}(0).

(b) Montrer que f est dérivable sur ℝ.

(c) Montrer que f′ n’admet pas de DL(0) à aucun ordre. Exercice 23. Soit f : ]−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}[ définie par f(x) = tan(x). Exercice 24. Trouver le DL_{n}(0) des fonctions

f(x) = tan x (n = 5) , g(x) = tan^{2} x (n = 6) , h(x) = \frac{ln(1 + x)}{1 + x} (n = 4) ,
j(x) = \frac{x}{sin x} (n = 4) , k(x) = e^{cos x} (n = 6) , ℓ(x) = arcsin(x) (n = 3) .

Solution: tan x = x + \frac{1}{3}x^{3} + \frac{2}{15}x^{5} + o(x^{5}), tan^{2} x = x^{2} + \frac{2}{3}x^{4} + \frac{17}{45}x^{6} + o(x^{6}) h(x) = x − \frac{3}{2}x^{2} + \frac{11}{6}x^{3} − \frac{25}{12}x^{4} + o(x^{4}), j(x) = 1 + \frac{1}{6}x^{2} + \frac{7}{360}x^{5} + o(x^{5})

k(x) = e − \frac{e}{2}x^{2} + \frac{e}{6}x^{4} + \frac{31e}{720}x^{6} + o(x^{6}), ℓ(x) = x + \frac{1}{6}x^{3} + o(x^{3}).

Exercice 25. Calculer le DL_{4}(\frac{π}{6}) de (sin 2x)^{2}.

Solution: En utilisant la formule de Taylor ou les théorèmes d’addition pour x = \frac{π}{6}+t ⇝ sin(\frac{π}{3} + 2t) (au carré), on trouve

\frac{3}{4} + \sqrt{3}(x − \frac{π}{6} ) − 2 (x − \frac{π}{6} )^{2} − \frac{8}{3}\sqrt{3}(x − \frac{π}{6} )^{3} + \frac{8}{3}(x − \frac{π}{6} )^{4} + o(x − \frac{π}{6} )^{4} .

Exercice 26. Calculer

lim_{x→0} \frac{e^{x} − e^{−x}}{x} , lim_{x→0} \frac{x − arctan x}{(sin x)^{3}} .

Solution: lim 2 sh x/x = 2 ; arctan′ x = \frac{1}{1+x^{2}} ⟹ arctan x = x − x^{3}/3 + o(x^{3}) par intégration, d’ou lim = 1/3.

Exercice 27. On considère la fonction f définie sur ]−π, π[ par

f(x) = \begin{cases}\frac{1}{x} − \frac{1}{sin x} & si x ≠ 0 , \\ 0 & si x = 0 . \end{cases}

(a) Donner le DL_{4}(0) de f.

(b) En déduire que f est continue et dérivable en 0. Préciser f′(0).

Solution: f(x) = −\frac{1}{6}x − \frac{7}{360}x^{3} + o(x^{4}). On a f(0) = 0 =valeur du DL en 0, f est donc continue et dérivable car elle admet un DL_{n} avec n ≥ 1, et f′(0) = a_{1} = −\frac{1}{6}.

Exercice 28. Trouver les DL_{n}(∞) (D.L. généralisées au voisinage de l’infini) de (a) \sqrt[3]{x^{3} + 1} − \sqrt{x^{2} + x} (n = 3),

(b) arctan x (n = 5). (Indication : ∀x ∈ ℝ : arctan x + arctan \frac{1}{x} = \frac{π}{2}).

Solution: (a) −\frac{1}{2} + \frac{1}{8} \frac{1}{x} + \frac{13}{48} \frac{1}{x^{2}} + \frac{5}{128} \frac{1}{x^{3}} + o(1/x^{3}).

(b) \frac{1}{2}π − \frac{1}{x} + \frac{1}{3} \frac{1}{x^{3}} − \frac{1}{5} \frac{1}{x^{5}} + o(\frac{1}{x^{5}} ).

Exercice 29. Calculer

(a) lim_{x→1} x^{\frac{1}{1−x}} , (b) lim_{x→1} \frac{1}{ln x} − \frac{2}{x − 1} , (c) lim_{x→∞} (1 + \frac{a}{x})^{x} (a ∈ ℝ) .

Solution: (a) = e^{−1} ; (b) = −∞ (cf.exo.16 ; (c) = e^{a}.