Université Antilles–Guyane DEUG MIAS 1^{e} année UFR Sciences Exactes et Naturelles Module MIP 2 Dépt de Mathématiques et Informatique Dépt Scientifique Interfacultaire 2^{e} semestre 2002–2003

Mathématiques 2 / Analyse — T.D. série n^{∘} 1 : Intégration.

Exercice 1. Calculer, à l’aide d’intégration par parties, les primitives

(a) ∫ ln x dx ,  (b) ∫ arctan x dx , (c) ∫ e^{x} sin x dx ,
(d) ∫ \frac{x e^{x}}{(1 + e^{x})^{3}} dx , (e) ∫ x e^{2 x+1} dx ,  (f) ∫ \frac{1}{(x^{2} + 1)^{2}} dx .

(Indication pour (f) : intégrer par parties ∫ \frac{1}{x^{2} + 1} dx.)

Exercice 2. On pose I_{n}(x) = ∫ (ln x)^{n} dx pour tout n ∈ ℕ. Etablir une relation

de récurrence entre I_{n}(x) et I_{n−1}(x) (pour n ∈ ℕ^{∗}). Calculer I_{3}(x).

Exercice 3. Démontrer la formule de Taylor avec reste intégral : Pour tout a, x ∈ ℝ et f ∈ C^{n+1}([a, x]) (n + 1 fois continûment dérivable), on a

f(x) = f(a)+f′(a) (x−a)+···+\frac{1}{n!} f^{(n)}(a) (x−a)^{n}+\frac{1}{n!} ∫_{a}^{x} f^{(n+1)}(t) (x−t)^{n} dt .

(Indication : utiliser une récurrence sur n, et une intégration par parties.)

Exercice 4. Soit f une fonction de classe C^{3} sur un intervalle I de ℝ telle que

∃M > 0 , ∀t ∈ I : |f^{(3)}(t)| ≤ M .

En utilisant la formule de Taylor avec reste intégral, montrer

∀a, x ∈ I : |f(x) − f(a) − f′(a) (x − a) − \frac{1}{2} f′′(a) (x − a)^{2}| ≤ \frac{M}{6} |x − a|^{3} .

Exercice 5. On pose f(x) = ln(1 + x^{2}). En appliquant à f la formule de Taylor avec reste intégral sur [0, 1], à un ordre convenable, montrer que :

∫_{0}^{1} \frac{(1 + t) (1 − t)^{2}}{(1 + t^{2})^{2}} dt = \frac{ln 2}{2}.

Exercice 6. Montrer que pour f, g ∈ C([a, b]), si g > 0 sur ]a, b[, alors

∃ξ ∈ [a, b] : ∫_{a}^{b} f(x) g(x) dx = f(ξ) ∫_{a}^{b} g(x) dx

(théorème de la moyenne généralisé). [Indication : étudier G(x) = ∫_{a}^{x} g(t) dt pour justifier le changement de variable u(x) = a + G(x) · (b − a)/G(b).] Exercice 7. Soit f une fonction de classe C^{2} sur ℝ, telle que f(0) = 0.

Pour tout x ∈ ℝ, on pose F (x) = ∫_{0}^{x} f(t) dt − \frac{x}{2}f(x).

(a) Montrer que F est de classe C^{2} sur ℝ, et calculer F′′(x) , (x ∈ ℝ).

(b) En appliquant à F la formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre 1,

montrer que pour tout x ∈ ℝ :

F (x) = −\frac{1}{2} ∫_{0}^{x} t (x − t) f′′(t) dt .

Exercice 8. Calculer les primitives suivantes (intégration à vue) :

I_{1} = ∫ (x + \frac{1}{x})^{2} dx , I_{2} = ∫ \frac{ln x}{x} dx , I_{3} = ∫ \frac{1}{x ln x} dx ,

I_{4} = ∫ \frac{2x − sin x}{\sqrt{x^{2} + cos x}} dx , I_{5} = ∫ \frac{cos x}{(sin x)^{n}} dx (n > 1) .

Exercice 9. Calculer, à l’aide d’un changement de variable, les primitives : A = ∫ (sin x cos x − 2 sin^{3} x cos^{2} x) dx , B = ∫ \frac{dx}{x ln x ln(ln x)} ,

D = ∫ \frac{e^{x} dx}{(1 + e^{x})\sqrt{e^{x} − 1}} , E = ∫ \frac{2 x dx}{\sqrt{2x + 1}} , F = ∫ \frac{dx}{5 ch x + 3 sh x + 4} .

Exercice 10. Décomposer en éléments simples (sur ℝ) les fractions rationnelles

f(x) = \frac{x + 3}{x^{2} − 4} , g(x) = \frac{2x^{2} + 3x − 1}{(x − 2)(x^{2} + 2x + 5)} , h(x) = \frac{x^{2} − 2x + 2}{(x + 1)^{2}} ,

v(x) = \frac{6x^{2} + 12x + 4}{x(x + 2)^{2}} , w(x) = \frac{x^{2} + x + 1}{(x^{2} + 1)(x − 1)^{3}} .

Exercice 11. Calculer les primitives :

A = ∫ \frac{x + 2}{x^{2} + x − 6} dx , B = ∫ \frac{x^{3} − 2}{x^{3} − x^{2}} dx ,

C = ∫ \frac{3x + 2}{x^{2} + x + 1} dx , D = ∫ \frac{x^{3} + 1}{x (x − 1)^{2}} dx , E = ∫ \frac{2}{x^{2} (x^{2} + 1)^{2}} dx .

Exercice 12. Décomposer en éléments simples et calculer la primitive de

f(x) = \frac{x^{2} − x + 2}{x^{5} + x^{2}} et g(x) = \frac{x^{5} − x^{3} + 3x^{2} + 5x + 2}{(x − 1)^{2} (x^{2} + 2x + 2)} .

Exercice 13. Calculer les primitives

A = ∫ \frac{x^{3} + 1}{x(x − 1)^{2}} dx , B = ∫ \frac{e^{x} − 1}{e^{x} + 1} dx ,

D = ∫ \frac{x^{3}}{(x^{2} + 1)^{3}} dx , E = ∫ \frac{dx}{sin x} , F = ∫ \sqrt{\frac{x − 1}{x + 1}} dx .