Université Antilles–Guyane DEUG MIAS 1^{e} année UFR Sciences Exactes et Naturelles Module MIP2 Dépt Scientifique Interfacultaire 2^{e} semestre 2003-2004

Algèbre Linéaire — Travaux Dirigés, série 1 : Espaces vectoriels

Exercice 1. (Révision du cours — à faire avant le premier TD !)

(a) Revoir, pour bien connaître, les définitions du premier cours :

• produit cartésien d’ensembles (E × F, E_{1} × ⋯ × E_{n}, E^{n},...),

• groupe (loi de composition interne associative, élément neutre, symétrique),

• corps (groupe additif et multiplicatif, distributivité ; règles de calcul),

• espace vectoriel (groupe additif, multiplication scalaire, distributivité, ...).

(b) Retrouver les résultats du premier cours :

• Si E est un 𝕂–espace vectoriel, on a pour tout x ∈ E et tout λ ∈ 𝕂 : (i) (−λ) x = λ (−x) = −(λ x) ; (ii) λ x = o ⟺ λ = 0 ∨ x = o.

• Exemples fondamentaux :

– tout corps 𝕂 est un 𝕂–espace vectoriel, et aussi 𝕂′–e.v. pour tout souscorps 𝕂′ ⊂ 𝕂 (par exemple, ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ, donc ℂ est ℝ– et ℚ–e.v.) ;

– si E est 𝕂–e.v., alors E^{n} et E^{I} sont 𝕂–e.v. pour les lois définis � par composante � : f + λ g = (f_{i} + λ g_{i})_{i∈I}. (E^{I} est l’ensemble des applications f : I → E, ou des familles (f_{i})_{i∈I} d’éléments de E indexés par I, où l’on écrit f_{i} au lieu de f(i).)

Exercice 2. (a) Montrer que l’ensemble ℤ_{2} = {0, 1}, muni des lois + et · habi-

tuelles, sauf pour 1 + 1 := 0, est un corps.

(b) On munit ℝ^{2} = ℝ × ℝ de la loi + habituelle et de la loi ⊗ définie par

(x_{1}, x_{2}) ⊗ (y_{1}, y_{2}) := ( x_{1} y_{1} − x_{2} y_{2} , x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} ) .

Montrer que (ℝ^{2}, +, ⊗) est un corps.

Exercice 3. Dans les cas suivants, montrer que E est un 𝕂–e.v. : préciser les lois, l’élément neutre et l’opposé de tout x ∈ E; comparer au (1b) (exemples).

(a) E = ℝ, 𝕂 = ℚ;  (b) E = ℝ^{3}, 𝕂 = ℝ;  (c) E = ℂ^{2}, 𝕂 = ℝ;

(d) E = ℝ^{ℕ} (suites réelles), 𝕂 = ℝ; (e) E = ℂ^{ℂ} (fct de ℂ ds ℂ), 𝕂 = ℂ.

Exercice 4. Dans ℝ_{+}^{∗} on définit une loi ⊕ par x ⊕ y = xy et une opération de ℝ sur ℝ_{+}^{∗} par λ ⋆ x = x^{λ}. Vérifier que (ℝ_{+}^{∗}, ⊕, ⋆) est un espace vectoriel sur ℝ.

Exercice 5. Montrer que la distributivité entraîne que le groupe additif d’un corps ou d’un 𝕂–e.v. est abélien. (Indication : étudier (1 + 1)(x + y)). (N.B. : il est généralement quand même plus efficace d’établir d’abord la commutativité de la loi � + �, ce qui simplifie les autres preuves.)