Université Antilles–Guyane DEUG MIAS 1^{e} année UFR Sciences Exactes et Naturelles Module MIP2 Dépt Scientifique Interfacultaire 2^{e} semestre 2002-2003

Algèbre Linéaire — Travaux Dirigés^{(∗)}, série 1 : Espaces vectoriels

(RP) Exercice 1. Bien connaître les définitions du premier cours :

• Le produit cartésien d’ensembles : A × B = { (x, y) ; x ∈ A, y ∈ B }; A_{1} × A_{2} × ⋯ × A_{n} = { (x_{1}, ..., x_{n}) ; x_{i} ∈ A_{i} ∀i } (= A^{n} si A_{i} = A ∀i)

• (G, ∗) est un groupe ssi ∗ : G × G → G, (x, y) ↦ x ∗ y (loi de composition interne) admet un élément neutre (∃e ∈ G, ∀x ∈ G, e ∗ x = x ∗ e = x), est associative (∀x, y, z ∈ G : x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z), et telle que tout x ∈ G admet un symétrique dans G (∀x ∈ G, ∃x̄ ∈ G : x ∗ x̄ = x̄ ∗ x = e). Le groupe est abélien ssi ∗ est commutative (∀x, y ∈ G : x ∗ y = y ∗ x).

(La notion de groupe n’est utilisée ici que pour définir les corps et espaces vectoriels.)

• (𝕂, +, ·) est un corps ssi (𝕂, +) et (𝕂 \ {0} , ·) sont des groupes et � · � est distributive sur + (∀x, y, z ∈ 𝕂 : x (y+z) = x y+x z, (x+y) z = x z+y z). Pour + (·) on note e = 0 (e = 1) et x̄ = −x (x̄ = x^{−1}) ; x + y z ≡ x + (y · z).

• (E, +, ·) est 𝕂–espace vectoriel ssi (E, +) est un groupe et · : 𝕂 × E → E distributive sur les +, ‘associative’ (λ·(μ·x) = (λ μ)·x) et ∀x ∈ E : 1·x = x. On note o = 0_{E} le vecteur nul, (unique) élément neutre de (E, +).

(RP) Exercice 2. Retrouver les résultats du premier cours :

(a) La distributivité entraîne que le groupe additif d’un corps ou 𝕂–e.v. est abélien (étudier (1 + 1)(x + y)). Pour se simplifier la vie, on établit généralement quand même d’abord la commutativité de � + �.

(b) Si E est un 𝕂–espace vectoriel, on a pour tout x ∈ E et tout λ ∈ 𝕂 : (i) (−λ) x = λ (−x) = −(λ x) ; (ii) λ x = o ⟺ λ = 0 ∨ x = o.

(c) Exemples fondamentaux : tout corps 𝕂 est 𝕂–e.v. (et 𝕂′–e.v. pour tout sous-corps 𝕂′ ⊂ 𝕂, par exemple ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ) ; si E est 𝕂–e.v., alors E^{n} et E^{I} sont 𝕂–e.v. pour les lois définis � par composante � : f + λ g = (f_{i} + λ g_{i})_{i∈I}. (E^{I} est l’ensemble des applications f : I → E, ou des familles (f_{i})_{i∈I} d’éléments de E indexés par I, avec f_{i} = f(i).)

(RP) Exercice 3. Se convaincre que chaque équation et notion ci-dessus est bien claire ; sinon essayer d’avoir des explications d’un camarade, de votre enseignant de T.D., ou du professeur du cours (au plus tard au prochain cours).

(AD) Exercice 4. Dans les cas suivants, montrer que E est un 𝕂–e.v. : préciser les lois, l’élément neutre et l’opposé de tout x ∈ E; comparer au (2c) et (2b).

(a) E = ℝ, 𝕂 = ℚ;  (b) E = ℝ^{3}, 𝕂 = ℝ;  (c) E = ℂ^{2}, 𝕂 = ℝ;

(d) E = ℝ^{ℕ} (suites réelles), 𝕂 = ℝ; (e) E = ℂ^{ℂ} (fct de ℂ ds ℂ), 𝕂 = ℂ.

(AD) Exercice 5. Dans ℝ_{+}^{∗} on définit une loi ⊕ par x ⊕ y = xy et une opération de ℝ sur ℝ_{+}^{∗} par λ ⋆ x = x^{λ}. Vérifier que (ℝ_{+}^{∗}, ⊕, ⋆) est un espace vectoriel sur ℝ.

(∗) RP = révision du cours / préparation du T.D. (obligatoire; revu en T.D. seulement sur

demande !) ; AD = application directe du cours ; EX = exercice ; PB = problème.