Université Antilles–Guyane DEUG MIAS 1^{e} année UFR Sciences Exactes et Naturelles Module MIP2 Dépt de Mathématiques et Informatique Dépt Scientifique Interfacultaire 2^{e} semestre 2001-2002

Algèbre Linéaire — Travaux Dirigés, série 1 : Espaces vectoriels et applications linéaires

N.B.: Les exercices marqués d’une étoile sont à traiter en priorité. Les exercices marqués d’un � § � sont un peu difficiles.

Structure d’espace vectoriel

Exercice 1. (a) Montrer que ℂ est un ℝ–espace vectoriel, en précisant les lois. (b) Montrer que ℝ^{2} est un espace vectoriel sur ℚ, en précisant les lois.

* Exercice 2. Dans ℝ_{+}^{∗} on définit une loi ⊕ par x ⊕ y = xy et une opération de ℝ sur ℝ_{+}^{∗} par λ ⋆ x = x^{λ}. Vérifier que (ℝ_{+}^{∗}, ⊕, ⋆) est un espace vectoriel sur ℝ.

Exercice 3. Montrer que la commutativité de la loi + est conséquence des autres axiomes définissant un espace vectoriel, notamment de la distributivité. (Indication : développer (1 + 1)(x + y) de deux façons différentes.)

§ Exercice 4. Soit (E, +, ·) un 𝕂–ev. Montrer qu’on a pour tout x ∈ E, λ ∈ 𝕂 : 0 · x = o ; (−λ) · x = −(λ · x) ; λ · o = o ; λ · x = o ⟺ (λ = 0 ∨ x = o).

Espace vectoriel produit

Exercice 5. (a) Soit I un ensemble quelconque, E un 𝕂–espace vectoriel, et E^{I}

l’ensemble des applications de I dans E. Montrer que E^{I} est un 𝕂–e.v.

* (b) En déduire que les suites de réels et ℝ^{3} sont des ℝ–espaces vectoriels. § (c) Pour chaque i ∈ I, soit E_{i} un 𝕂–ev. Montrer que les familles x = (x_{i})_{i∈I}

avec ∀i ∈ I, x_{i} ∈ E_{i}, forment encore un 𝕂–e.v. (noté ∏_{i∈I} E_{i}). Qu’obtient-on pour I = {1, 2}? Et pour E_{i} = E (tous pareils) ?

Sous-espaces vectoriels

* Exercice 6. (a) Pour E = ℝ^{3} et a ∈ ℝ fixé, on pose F_{a} := {(x, y, a); x, y ∈ ℝ}.

Montrer que F_{a} est sous-espace vectoriel de E si et seulement si a = 0.

(b) Soit E = ℝ^{I} le ℝ–e.v. des applications numériques définies sur I ⊂ ℝ. On fixe x_{0} ∈ I et a ∈ ℝ. Montrer que F_{a} = {f ∈ E | f(x_{0}) = a} est s.e.v. de E si et seulement si a = 0. Comparer avec le (a).

Exercice 7. Lesquels des ensembles suivants sont s.e.v. du ℝ-e.v. E = ℝ^{ℝ}?

(a) C = {f ∈ E | ∀x, y ∈ ℝ : x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y)} (fonctions croissantes)

* (b) D = C − C = {f ∈ E | ∃g, h ∈ C : f = g − h} (c) F_{α} = {f ∈ E | ∀x ∈ ℝ_{+} : f(−x) = αf(x)}, α ∈ ℝ fixé. — Exemples ?

(d) G = {x ↦ a sin x + b cos x; a, b ∈ ℝ}

(e) H = {f ∈ E | ∃M > 0 : |x| > M ⟹ f(x) = 0}.

(f) fonctions bornées, n fois dérivables, polynômiales (de degré n).

* (g) Donner 3 autres exemples intéressants de sev de E et 2 contre-exemples.

Exercice 8. Caractériser ℝ^{(ℕ)}, les suites nulles sauf un nombre fini d’éléments. Montrer que c’est un sev de ℝ^{ℕ}, et l’identifier avec les polynômes.

§ Exercice 9. Soit F un s.e.v. d’un e.v. E. Montrer que H = (E \ F) ∪ {0} est un s.e.v. si et seulement si F = {0} ou F = E.

Applications linéaires

* Exercice 10. (a) Les applications suivantes sont-elles linéaires ?

f : \begin{matrix}ℝ^{3} & → ℝ \\ (x, y, z) & ↦ x + y + z \end{matrix} , g : \begin{matrix}ℝ^{2} & → ℝ^{3} \\ (x, y) & ↦ (y, x, x − 2 y) \end{matrix} , h : \begin{matrix}ℝ^{2} & → ℝ \\ (x, y) & ↦ xy \end{matrix} ,

j : \begin{matrix}ℝ^{2} & → ℝ^{ℝ} \\ (a, b) & ↦ a · sin +b · cos \end{matrix} , k : \begin{matrix}(ℝ, +, ·) & → (ℝ_{+}^{∗}, ⊕, ⋆) \\ x & ↦ e^{x} \end{matrix} (cf. exo 2)

(b) Parmi f, g, h, k, lesquelles sont injectives, surjectives ?

Exercice 11. Montrer que pour des applications linéaires f, g ∈ L(E, E), les applications f + g, λf (λ ∈ 𝕂) et g ∘ f sont encore linéaires. (Lesquels de ces résultats restent valables si 𝕂 est non-commutatif ?)

Exercice 12. Définir l’application � dérivée � d’un polynôme, et montrer que c’est une application linéaire. Quel est le noyau de la � n^{e} dérivée � ?

* Exercice 13. (a) Soit v = (v_{1}, v_{2}) la famille des deux vecteurs v_{1} = (0, 1, 1) et v_{2} = (1, 0, −2). Montrer que l’application Ψ_{v} : ℝ^{2} → ℝ^{3}, (λ_{1}, λ_{2}) ↦ λ_{1}v_{1} + λ_{2}v_{2} est linéaire et injective. Comparer avec g de l’exercice 10.

(b) Généraliser à une famille (v_{1}, ..., v_{n}) de n vecteurs d’un 𝕂–ev E.

(c) Pour une famille quelconque v = (v_{i})_{i∈I} ∈ E^{I} (penser aux suites E^{ℕ}), considérer Ψ_{v} : 𝕂^{(I)} → E (une somme ∑_{i∈I} λ_{i}v_{i} étant bien définie ssi λ_{i} = 0 sauf un nombre fini de i; revoir l’exo 8 avec v = (X^{k})_{k∈ℕ}).

Exercice 14. Soient E, F, G des 𝕂-ev, f ∈ L(E, F) surjective sur F, et g une application de F dans G. Montrer que si g ∘f est linéaire, alors g est linéare.

Exercice 15. Soit E un 𝕂-ev. Montrer que l’application φ de L(𝕂, E) dans E définie par φ(f) = f(1) est un isomorphisme de 𝕂-ev.

* Exercice 16. Soient E, F, G des 𝕂-ev, u ∈ L(E, F), v ∈ L(F, G). Montrer que

\begin{matrix}u^{∗} : L(F, G) & → L(E, G) \\ w & ↦ w ∘ u \end{matrix} et \begin{matrix}v_{∗} : L(E, F) & → L(E, G) \\ w & ↦ v ∘ w \end{matrix} sont linéaires.

Exercice 17. Soit E = 𝕂[X] et E_{n} = {P ∈ E; deg P ≤ n} où n ∈ ℕ. Soit φ l’application de E dans E définie par φ(P) = XP′ + P où P′ désigne la dérivée de P.

(a) Montrer que φ est un endomorphisme de E et que la restriction φ_{n} de

φ à E_{n} est un endomorphisme de E_{n}.

§ (b) Montrer que φ_{n} est surjective. § (c) Déterminer les polynômes P ∈ E_{n} et les scalaires λ tels que φ(P) = λP.

En déduire que φ est un automorphisme de E.

§ Exercice 18. Soit E un 𝕂-ev et u ∈ L(E). Pour P = a_{0} + a_{1}X + ... + a_{n}X^{n}, on pose P (u) = a_{0} id_{E} +a_{1}u + ... + a_{n}u^{n}, avec u^{k} := u ∘ u ∘ ⋯ ∘ u (k fois).

(a) Montrer que pour tout P, Q ∈ 𝕂[X], on a (P Q)(u) = P (u) ∘ Q(u).

(b) Si u n’est pas injectif, montrer que : ker u ⊂ ker P (u) ⟺ P (0) = 0.

(c) Montrer que si P (0) ≠ 0 alors ker P (u) ⊂ im u.

Université Antilles–Guyane DEUG MIAS 1^{e} année UFR Sciences Exactes et Naturelles Module MIP2 Dépt de Mathématiques et Informatique Dépt Scientifique Interfacultaire 2^{e} semestre 2001-2002

Algèbre Linéaire — Travaux Dirigés, série 2 : Intersection et somme de sous-espaces, supplémentaire.

N.B.: Les exercices marqués d’une étoile sont à traiter en priorité. Les exercices marqués d’un � § � sont un peu difficiles.

Sous-espaces de ℝ^{n}

* Exercice 19.

(a) Exprimer l’ensemble F = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x = 2y + z} comme noyau d’une application linéaire et en déduire que c’est un s.e.v. de ℝ^{3}. (On peut utiliser la notion d’application linéaire attachée à une famille.)

(b) Généraliser le (19a) pour déduire que pour tout a ∈ ℝ^{n}, l’ensemble H_{a} = {(x_{1}, ..., x_{n}) ∈ ℝ^{n} | x_{1}a_{1} + ... + x_{n}a_{n} = 0} est s.e.v. de ℝ^{n}. (Pour a ≠ o, H_{a} est appelé un hyperplan orthogonal à a. Donner une interprétation géometrique. (Produit scalaire nul pour angle de 90^{∘}.))

(c) Montrer que D = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x + y = z et y = 2z} est un s.e.v., en l’exprimant comme intersection de deux s.e.v.

(d) Donner un vecteur a ∈ ℝ^{3} tel que D = [a], droite vectorielle engendrée par a. (Utiliser que u ∧ v = (u_{2}v_{3} − u_{3}v_{2}, u_{3}v_{1} − u_{1}v_{3}, u_{1}v_{2} − u_{2}v_{1}) (produit vectoriel) est orthogonal aux deux vecteurs u, v ∈ ℝ^{3}.)

(e) Ecrire la définition de D en terme d’une seule équation vectorielle dans ℝ^{2} pour l’exprimer comme noyau d’une application linéaire.

Supplémentaires et projecteurs

Exercice 20. Montrer que E = F ⊕ G et donner les projecteurs p_{F} et p_{G} pour * (a) E = ℝ^{n}, F = [a], G = H_{a} (cf. exo 19b) [résoudre Ψ_{a}(v − λa) = 0],

(b) E = ℝ^{ℝ}, F = fonctions paires, G = fonctions impaires (cf. exo 7c),

* (c) E = ℝ^{ℝ}, F = {f ∈ E | f = c^{ste}}, G = {f ∈ E | f(0) = 0}, (d) E = 𝕂[X], F = {P ∈ E | ∃k ∈ ℕ : P = a_{0} + a_{2}X^{2} + ... + a_{2k}X^{2k}} ,

G = {P ∈ E | ∃k ∈ ℕ : P = a_{1}X + a_{3}X^{3} + ... + a_{2k+1}X^{2k+1}} .

Exercice 21. Soient F et G deux sous-espaces supplémentaires de E. Tout x ∈ E s’écrit donc de manière unique x = y + z avec y ∈ F et z ∈ G.

(a) Montrer que l’application s_{F} : x ↦ y − z est un endomorphisme de E, appelé symétrie par rapport à F parallèlement à G.

(b) Montrer que s_{F} = id_{E} −2 p_{G} = 2 p_{F} − id_{E} = p_{F} − p_{G}, ou p_{X} est le projecteur sur X.

§ Exercice 22. Soit F un sev d’un ev E, F_{1} et F_{2} deux supplémentaires de F dans E. Montrer que la restriction à F_{2} du projecteur sur F_{1} parallèlement à F, u = p_{F_{1}}|_{F_{2}}, est un isomorphisme de F_{2} sur F_{1}.

Université Antilles–Guyane DEUG MIAS 1^{e} année UFR Sciences Exactes et Naturelles Module MIP2 Dépt de Mathématiques et Informatique Dépt Scientifique Interfacultaire 2^{e} semestre 2001-2002

Algèbre Linéaire — Travaux Dirigés, série 3 : Familles libres et bases, applications linéaires dans ℝ^{n}

N.B.: Les exercices marqués d’une étoile sont à traiter en priorité. Les exercices marqués d’un � § � sont un peu difficiles.

Familles libres et bases

* Exercice 23. Dans ℝ^{3}, on considère les vecteurs v_{1} = (1, 2, 0) et v_{2} = (−6, 0, 2). (a) Montrer que {v_{1}, v_{2}} est libre.

(b) Trouver v_{3} ∈ ℝ tel que B = {v_{1}, v_{2}, v_{3}} est libre.

(c) Montrer que ℝ^{3} = vect B pour déduire que B est une base de ℝ^{3}.

Exercice 24. (a) Montrer que la famille (sin, cos) est libre dans le ℝ–e.v. ℝ^{ℝ}. (b) Montrer que la famille F = (x ↦ cos x, x ↦ cos 2x) est libre dans ℝ^{ℝ}.

(c) Montrer que la famille (f, g) = (x ↦ e^{x}, x ↦ x^{2} + 1) est libre dans ℝ^{ℝ}. § (d) Montrer que les familles suivantes sont libres dans ℝ^{ℝ} :

f = (x ↦ e^{αx})_{α∈ℝ} , g = (x ↦ cos kx)_{k∈ℕ} , h = (x ↦ sin kx)_{k∈ℕ^{∗}} .

* Exercice 25. Montrer qu’une famille de deux vecteurs est liée si et seulement si l’un est un multiple de l’autre.

§ Exercice 26. Soit E = ℂ[X]. Pour tout a ∈ ℂ, on définit φ_{a} ∈ L(E, ℂ) par φ_{a}(P) = P (a). Montrer que la famille (φ_{a})_{a∈ℂ} est libre dans L(E, ℂ).

Exercice 27. Utiliser le pivot de Gauss pour trouver les relations de dépendance entre {u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}} et une base du s.e.v. de ℝ^{4} qu’ils engendrent, pour

(a) \begin{matrix}u_{1} = (−1, 1, −2, 3 ) , & u_{2} = (−2, 1, −3, 1 ) , \\ u_{3} = ( 0, 1, −1, 5 ) , & u_{4} = ( 1, −2, 2, 3 ) . \end{matrix} *
(b) \begin{matrix}u_{1} = & e_{1} & + 2 e_{2} & − 3 e_{3} & + e_{4} , & u_{2} = & −2 e_{1} & + e_{2} & − e_{3} & + 3 e_{4} , \\ u_{3} = & e_{1} & + 7 e_{2} & − 10 e_{3} & + 6 e_{4} , & u_{4} = & 5 e_{1} & & − e_{3} & − 5 e_{4} , \end{matrix}
où (e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}) est une base quelconque de ℝ^{4}.

Exercice 28. (a) Soit (P_{k})_{k∈ℕ} une suite de polynômes de ℝ[X] telle que

deg P_{k} = k pour tout k ∈ ℕ. Montrer que (P_{k})_{k} est une base de ℝ[X].

(b) Soit a ∈ ℝ. Montrer que {(X + a)^{n}}_{n∈ℕ} est une base de ℝ[X]. § Donner les coordonnées de P = a_{0} + a_{1}X + ⋯ + a_{n}X^{n} dans cette base.

[Indiction : on peut utiliser P = Q(X + a) ⟺ Q = P (X − a).]

Base et dimension

Exercice 29. Ecrire la base canonique de E = ℝ_{2}[X] = {P ∈ ℝ[X] | deg(P) ≤ 2}. Quelle est la dimension de E? Soient a, b, c des paramètres réels. On pose

P_{0}(X) = −1, P_{1}(X) = 2X + a, P_{2}(X) = −X^{2} + 2bX − c .

Montrer que {P_{0}, P_{1}, P_{2}} forme une base de E.

Exercice 30. Soient E et F deux 𝕂-ev de dimension finie. Montrer que E × F

est de dimension finie et que dim(E × F) = dim E + dim F.

Applications linéaires en dimension finie

* Exercice 31. Soit f : ℝ^{3} → ℝ^{2} définie par f(x, y, z) = (4x − y, −x + 52z). (a) Montrer que f est linéaire.

(b) Déterminer ker f, en donner une base.

(c) Déterminer une partie génératrice de im u, puis une base de im u. Exercice 32. (a) Montrer que u : ℝ^{3} → ℝ^{4} est linéaire, lorsque

u(x, y, z) = ( 5x + 2y − z , −8x − 3y + 2z , −x − 2y + 3z , 3x − y − 5z) .

(b) Montrer que V = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x − 5y = 0} est un sev de ℝ^{3}.

(c) Déterminer u(V), l’image de V par u. Exercice 33. Montrer qu’il existe une et une seule application linéaire u de ℝ^{3}

dans ℝ^{2} telle que u(−1, 2, 0) = (1, 0), u(0, 1, 1) = (0, 1), u(1, 1, 1) = (1, 1).

Calculer u(x, y, z) pour (x, y, z) arbitraire dans ℝ^{3}.

Dimension et rang

Exercice 34. On considère l’application linéaire f : ℂ^{3} → ℂ^{3} définie par

f(e_{1}) = αe_{1} + 2 e_{2} + 3 e_{3} ; f(e_{2}) = i e_{2} + αe_{3} ; f(e_{3}) = e_{2} + 5 e_{3} .

où {e_{1}, e_{2}, e_{3}} est la base canonique de ℂ^{3}.

(a) Pour (x, y, z) ∈ ℂ^{3}, calculer f(x, y, z).

(b) Déterminer ker(f), im(f) ainsi qu’une base pour chacun de ces sev selon les valeurs de α. Préciser, pour chaque cas, le rang de f.

Exercice 35. Soient E un ev de dimension finie n ∈ ℕ^{∗}, f ∈ L(E), a ∈ E tels que (f(a), f^{2}(a), ..., f^{n}(a)) soit libre. Montrer que (a, f(a), ..., f^{n−1}(a)) est une base de E et que f est un automorphisme de E.

Exercice 36. Soient E un ev de dimension finie et F un sev de E.

(a) Montrer que si F est de dimension finie, alors pour tout u ∈ L(E),

F ⊂ u(F) ⟹ F = u(F) .

(b) Donner un contre-exemple quand F n’est pas de dimension finie. Exercice 37. Soient E un 𝕂-ev de dimension finie et u ∈ L(E) de rang 1. Montrer

qu’il existe un unique λ ∈ 𝕂 tel que u^{2} = u ∘ u = λ u. Exercice 38. Soient E un ev, E_{1} et E_{2} deux sev de E. On considère l’application

φ : E_{1} × E_{2} → E définie par φ(x_{1}, x_{2}) = x_{1} + x_{2}.

(a) Montrer que ker φ = {(x, −x) ; x ∈ E_{1} ∩ E_{2}}.

En déduire que ker φ et E_{1} ∩ E_{2} sont isomorphes.

(b) En utilisant l’exercice 30, montrer que

dim(E_{1} + E_{2}) = dim E_{1} + dim E_{2} − dim(E_{1} ∩ E_{2}).

Formes linéaires

§ Exercice 39. Monter que Ψ : 𝕂^{n} → L(𝕂^{n}, 𝕂) ; a ↦ Ψ_{a} est un isomorphisme (avec Ψ_{a} : 𝕂^{n} → 𝕂, (x_{1}, ..., x_{n}) ↦ x_{1}a_{1} + ... + x_{n}a_{n} pour a = (a_{1}, ..., a_{n}). [Indication : utiliser la base canonique de 𝕂^{n} pour montrer la surjectivité.]

Exercice 40. Soit E = C^{0}([0, 1]; ℝ). Pour tout n ∈ ℕ, soit φ_{n} la forme linéaire définie sur E par φ_{n}(f) = ∫_{0}^{1} t^{n} f(t) dt .

(a) Montrer que si f est une fonction positive de E, alors φ_{0}(f) = 0 entraîne f = 0. (Indication : considérer une primitive de f sur [0, 1]). En déduire que (φ_{n})_{n∈ℕ} est libre.

(b) Soit u : E → (ℝ^{n+1})^{∗} ; f ↦ u(f) = (φ_{0}(f), ..., φ_{n}(f)). Montrer que u est surjective. [Ind. : appliquer le résultat de l’exercice 43 au sev F = im u et utiliser l’exercice 39.]

Exercice 41. (a) Soient E un 𝕂-ev de dimension finie, f_{1} et f_{2} deux formes linéaires sur E. Montrer que ker f_{1} = ker f_{2} si et seulement si : ∃λ ∈ 𝕂^{∗} : f_{1} = λf_{2}.

(b) Soit V = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) ∈ ℂ^{4}; x_{1} − ix_{4} = 0 et x_{1} + ix_{2} − x_{3} = 0}. Quelles sont à priori les valeurs possibles pour dim V ? Montrer en utilisant (41a) que dim V ≤ 2.

(c) Donner une base de V.

§ Exercice 42. Soit n ∈ ℕ. Un élément x de E = 𝕂^{n} est noté x = (x_{1}, ..., x_{n}). Soit a ∈ 𝕂^{n} et φ : 𝕂^{n} → 𝕂 tels que φ(x) = a_{1}x_{1} + ... + a_{n}x_{n}. On pose H = {x ∈ 𝕂^{n}, φ(x) = 0}.

(a) Montrer que si H ≠ E, alors H est un sev de E possédant une base de n − 1 éléments.

(b) Caractériser les supplémentaires de H.

§ Exercice 43. Soient E un ev et F un sev de E tels que : ∀φ ∈ E^{∗} \{o}, φ|_{F} ≠ o. Montrer que F = E. (Indication : si E′ est un supplémentaire de F tel que E′ ≠ {o} et si a ∈ E′, considérer ψ ∈ E^{∗} tel que ψ(a) ≠ 0).

Université Antilles–Guyane DEUG MIAS 1^{e} année UFR Sciences Exactes et Naturelles Module MIP2 Dépt de Mathématiques et Informatique Dépt Scientifique Interfacultaire 2^{e} semestre 2001-2002

Algèbre Linéaire — Travaux Dirigés, série 4 : Calcul matriciel

N.B.: Les exercices marqués d’une étoile sont à traiter en priorité. Les exercices marqués d’un � § � sont un peu difficiles.

* Exercice 44. On considère les matrices suivantes : A = ( 1 2 3 ) ,

B = ( \begin{matrix}1 \\ −2 \end{matrix} ) , C = ( \begin{matrix}2 & 1 \\ −3 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) , D = ( \begin{matrix}−2 & 5 \\ 5 & 0 \end{matrix} ) , E = ( \begin{matrix}−1 & 1 & 3 \\ −1 & −4 & 0 \\ 0 & 2 & 5 \end{matrix} ) .

(a) Quels sont les produits matriciels possibles ? En calculer au moins cinq.

(b) Parmi les matrices A, B, C, D, E et leurs produits, lesquelles sont carrées et lesquelles sont symétriques ?

Exercice 45. (a) Montrer que l’ensemble S_{n}(𝕂) des matrices carrées symé-

triques d’ordre n est un 𝕂–espace vectoriel.

(b) Le produit de deux matrices symétriques est-il symétrique ?

Exercice 46. Montrer que les matrices symétriques et antisymétriques sont des s.e.v. supplémentaires dans M_{n}(ℂ). (Indication : considérer \frac{1}{2}(A ± ^{t}A).)

* Exercice 47. Soit n ∈ ℕ^{∗}. La base canonique de M_{n}(ℝ) est la famille (E_{ij})_{i,j=1...n}

des matrices E_{ij} ayant tous les éléments nuls sauf celui situé sur la i^{e} ligne dans la j^{e} colonne, qui vaut 1. Ainsi toute matrice A = (a_{ij}) ∈ M_{n}(ℝ)

s’écrit de façon unique A = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} a_{ij} E_{ij} . (1)

(a) Montrer que

E_{ij} · E_{kℓ} = \{ \begin{matrix}0 & si & j ≠ k \\ E_{iℓ} & si & j = k \end{matrix} .

Utiliser ce résultat pour calculer le produit

( \begin{matrix}1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}5 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

(b) Calculer et interpréter les produits A · E_{ij} et E_{ij} · A.

(c) Pour λ ∈ ℝ on pose P_{ij}(λ) = I + λE_{ij} (I = I_{n} = matrice unité). Déduire du (47b) une interprétation des produits A · P_{ij}(λ) et P_{ij}(λ) · A.

(d) Déduire de la question précédente une expression de la matrice inverse de P_{ij}(λ), c’est-à-dire Q ∈ M_{n}(ℝ) t.q. P_{ij}(λ) · Q = Q · P_{ij}(λ) = I, et confirmer le résultat par calcul explicite, en développant ces produits.

* Exercice 48. Soit E l’ensemble des matrices de M_{3}(ℝ) de la forme

M(a, b, c) = ( \begin{matrix}a + c & b & −c \\ b & a + 2c & −b \\ −c & −b & a + c \end{matrix} ) , (a, b, c) ∈ ℝ^{3} .

(a) Montrer que M(a, b, c) peut s’écrire M(a, b, c) = aI + bJ + cK où I = I_{3}, J et K étant indépendants de a, b et c. En déduire que E est un ℝ–espace vectoriel dont on donnera la dimension.

(b) Calculer J^{2}, JK, KJ, K^{2} en fonction de I, J et K. En déduire que E est stable pour la multiplication matricielle.

Exercice 49. Soit D_{n}(𝕂) l’ensemble des matrices diagonales d’ordre n. (a) Montrer que l’ensemble D_{n}(𝕂) est un sous-espace vectoriel de M_{n}(𝕂).

(b) Si D et D′ sont deux éléments de D_{n}(𝕂), montrer que DD′ ∈ D_{n}(𝕂).

(c) Montrer que D ∈ D_{n}(𝕂) est inversible si et seulement si tous ses éléments diagonaux sont non nuls. Déterminer dans ce cas D^{−1}.

(d) Si D ∈ D_{n}(𝕂), calculer D^{p} pour p ∈ ℕ.

Exercice 50. Soient A, B ∈ M_{n}(𝕂) tels que A · B = 0. Si l’une des matrices est non-nulle, montrer (par l’absurde) que l’autre n’est pas inversible.

Exercice 51. Calculer le produit de A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) avec Ã = ( \begin{matrix}d & −b \\ −c & a \end{matrix} ).

En déduire A^{−1} lorsque le déterminant det(A) =^{def} ad − bc est non-nul.

Inversion de matrices, Méthode de Gauss

Exercice 52. En utilisant la méthode de Gauss, étudier l’inversibilité des matrices suivantes et déterminer éventuellement leurs inverses :

A = ( \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ −3 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}−2 & 5 \\ 5 & 0 \end{matrix} ) , C = ( \begin{matrix}−1 & 1 & 3 \\ −1 & −4 & 0 \\ 0 & 2 & 5 \end{matrix} ) , D = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & −1 \\ −1 & 1 & 3 & 1 \\ −1 & −4 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 5 & 1 \end{matrix} ) .

* Exercice 53. Déterminer si les matrices suivantes sont inversibles, et calculer l’inverse lorsqu’il existe.

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & −3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}2 & 2 & 3 \\ 1 & −1 & 0 \\ −1 & 2 & 1 \end{matrix} ) , C = ( \begin{matrix}1 & 3 & 5 \\ 2 & 7 & 1 \\ 0 & 0 & −9 \end{matrix} ) .

* Exercice 54. Soient les matrices

A = ( \begin{matrix}2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}2 & −1 & 2 \\ 1 & −2 & 2 \\ 2 & −2 & 3 \end{matrix} ) , C = ( \begin{matrix}1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \end{matrix} ) , D = ( \begin{matrix}1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \end{matrix} ) .

Montrer que A est inversible et calculer A^{−1}. En déduire que B, C, D sont inversibles et calculer B^{−1}, C^{−1}, D^{−1}.

Université Antilles–Guyane DEUG MIAS 1^{e} année UFR Sciences Exactes et Naturelles Module MIP2 Dépt de Mathématiques et Informatique Dépt Scientifique Interfacultaire 2^{e} semestre 2001-2002

Algèbre Linéaire — Travaux Dirigés, série 5 : Matrices et applications linéaires ; systèmes linéaires

N.B.: Les exercices marqués d’une étoile sont à traiter en priorité. Les exercices marqués d’un � § � sont un peu difficiles.

* Exercice 55. Soit E = (e_{1}, e_{2}, e_{3}) la base canonique de ℝ^{3} et f l’endomorphisme de ℝ^{3} défini par

A = Mat_{E}(f) := Mat_{E,E}(f) = ( \begin{matrix}2 & 2 & 3 \\ −2 & −1 & −2 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} ) .

(a) Calculer f(b_{i}) pour b_{1} = (1, −2, 1), b_{2} = (0, 2, −1) et b_{3} = (0, 0, 1).

(b) i. Démontrer que B = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) est une base de ℝ^{3}.

ii. Déterminer T = Mat_{B}(f). En déduire que f est bijective.

(c) i. Calculer N^{2} pour N = ( \begin{matrix}0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ). En déduire N^{k} pour k ≥ 2.

ii. Soit n ∈ ℕ. Calculer T^{n} en fonction de n et N, puis en fonction de n uniquement. En déduire A^{n} en fonction de n.

Exercice 56. Soit A = ( \begin{matrix}2 & −1 & −1 \\ 1 & 0 & −1 \\ −2 & 2 & 3 \end{matrix} ).

(a) i. Calculer A^{2} − 4 A + 3 I où I = I_{3}. En déduire que A est inversible

et calculer A^{−1}. ii. Calculer A^{−1} par la méthode de Gauss.

§ (b) Pour n ∈ ℕ^{∗} déterminer le reste de la division euclidienne de X^{n} par X^{2} − 4 X + 3. En déduire une expression de A^{n} en fonction de A et I puis en fonction de n.

(c) Entraînement : prendre D = diag(λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}) avec λ_{1}, λ_{2}, λ_{3} ∈ ℤ^{∗} pas forcément tous distincts, et une matrice B inversible (par exemple A de l’exo. 55 ou 56). Refaire l’exercice avec A = B · D · B^{−1} et le polynôme P = ∏_{r∈{λ_{1},λ_{2},λ_{3}}}(X − r) au lieu de X^{2} − 4X + 3.

Exercice 57. Dans M_{2}(ℝ) on considère l’application φ qui à M = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} )

associe φ(M) = ( \begin{matrix}a − b & d − c \\ c − d & b − a \end{matrix} ).

(a) Montrer que φ est un endomorphisme.

(b) Touver la matrice de φ dans la base canonique de M_{2}(ℝ).

(c) Donner une base de chacun des sous-espaces im φ et ker φ.

(d) Ecrire la matrice de la restriction de φ à im φ dans la base précédente.

Exercice 58. Dans E = ℝ_{1}[X], on considère les polynômes P_{1} = 2X − 1 et P_{2} = X + 1. Montrer qu’ils forment une base de E. Ecrire la matrice M de l’application linéaire D : P ↦ P′ dans cette base (P′ désigne la dérivée de P). Montrer de deux façons différentes que M^{2} = 0.

Exercice 59. (a) Soit b_{1} = (2, 1, −1), b_{2} = (2, −1, 2), b_{3} = (3, 0, 1). Montrer

que (b) = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) est une base de ℝ^{3}.

(b) Soit U l’endomorphisme de ℝ^{3} défini par U(x, y, z) = (−2x + y − z, x − 2y, 3x + 2y − z). Trouver la matrice de U dans la base (b).

(c) Soit (f_{1}, f_{2}) la base canonique de ℝ^{2}, soit w_{1} = −f_{1} + f_{2} ; w_{2} = f_{1} + f_{2}.

Vérifier que (w) = (w_{1}, w_{2}) est une base de ℝ^{2}.

* (d) Soit V ∈ L(ℝ^{3}, ℝ^{2}) définie par V (x, y, z) = (4x − y + z, x − 3y − z). Trouver la matrice de V par rapport aux bases (b) et (w).

Systèmes linéaires

Exercice 60. Résoudre par la méthode du pivot de Gauss les systèmes suivants :

* (a) dans ℝ^{3} :

\{ \begin{matrix}2 x & − & y & − & 3 z & = & a \\ 3 x & − & y & + & z & = & b \\ −2 x & − & 3 y & − & 10 z & = & c \end{matrix} en fonction de (a, b, c) ∈ ℝ^{3}

(b) dans ℝ^{4} :

\{ \begin{matrix}x & + & 2 y & + & 2 z & − & t & = & 1 \\ 2 x & + & y & + & 2 z & & & = & 2 \\ −x & − & y & − & z & + & t & = & −2 \\ 3 x & − & y & − & 2 z & + & t & = & 1 \end{matrix}

Exercice 61. Résoudre et discuter suivant les valeurs du paramètre réel a le système :

\{ \begin{matrix}(a + 1)x & + & y & + & z & = & a^{2} + 2a \\ x & + & (a + 1)y & + & z & = & a^{3} + 2a^{2} \\ x & + & y & + & (a + 1)z & = & a^{4} + 2a^{3} \end{matrix}

Exercice 62. Soient u = (2, 2, 1), v = (−1, 0, 1), w = (3, 4, 3) trois vecteurs de ℝ^{3}. Trouver les conditions sur (a, b, c) ∈ ℝ^{3} pour qu’il existe (x, y, z) ∈ ℝ^{3} tel que xu + yv + zw = (a, b, c).

* Exercice 63. Résoudre le système

\{ \begin{matrix}2x & + & y & + & z & + & 2t & + & 4u & = 4 \\ & − & 3y & + & 3z & + & t & + & 4u & = 3 \\ −x & − & 2y & + & z & & & + & 5u & = 1 \\ 3x & + & 3y & & & + & 2t & − & u & = 3 \end{matrix}

Exercice 64. Dans ℝ^{3} muni de sa base canonique (e_{1}, e_{2}, e_{3}), on considère la famille (u, v, w) avec u = (1, −1, −1) ; v = (−1, 1, −1) ; w = (−1, −1, 1).

(a) Calculer les coordonnées (x, y, z) du vecteur ξ u+η v +ζ w dans la base canonique en fonction de ξ, η, ζ.

(b) Démontrer que (u, v, w) est une base de ℝ^{3} et calculer les coordonnées (ξ, η, ζ) du vecteur x e_{1} + y e_{2} + z e_{3} dans la base (u, v, w).