Université des Antilles et de la Guyane Faculté des Sciences Exactes et Naturelles Département de Mathématiques et Informatique, Campus de Fouillole Département Scientifique Interfacultaire, Campus de Schoelcher

DEUG MIAS & MASS — Module MIP2 / MIE2 — 2^{e} semestre 2000-2001

Travaux Dirigés : Algèbre Linéaire — Série 1

Espaces vectoriels et Applications linéaires

Exercice 1. Soit (E, +, ⋆) un 𝕂–ev. Montrer que l’on a pour tout x ∈ E et tout λ ∈ 𝕂 :

0 ⋆ x = o , (−λ) ⋆ x = −(λ ⋆ x) , λ ⋆ o = o , et : λ ⋆ x = o ⟺ (λ = 0 ou x = o) . Exercice 2. Dans ℝ_{+}^{∗} on définit une loi ⊕ par x ⊕ y = xy et une opération de ℝ sur ℝ_{+}^{∗} par

λ ⋆ x = x^{λ}. Vérifier que (ℝ_{+}^{∗}, ⊕, ⋆) est un espace vectoriel sur ℝ. Exercice 3. Pour i ∈ {1, 2}, soient (E_{i}, ⊕_{i}, ⋆_{i}) des 𝕂–ev. Montrer que E = E_{1} × E_{2}, muni de

l’addition + et multiplication scalaire ⋆ � composante par composante �, est un 𝕂–ev. (Cet � espace vectoriel produit � se généralise à un produit E = ∏_{i∈I} E_{i} quelconque.)

Exercice 4. Montrer que la commutativité de la loi + est une conséquence des autres axiomes

définissant un espace vectoriel. [Ind. : developper (1+1)(x+y) de deux façons différentes.] Exercice 5. Soit E le ℝ–espace vectoriel des applications continues sur ℝ. Soient f et g les

applications définies par f(x) = cos x et g(x) = cos 2x. Montrer que si α et β sont des réels tels que αf + βg = 0_{E}, alors α = β = 0.

Exercice 6. Soit E = A(ℝ, ℝ) l’ensemble des applications de ℝ dans ℝ. On désigne par C l’ensemble des applications croissantes de E. Soit F = {f ∈ E | ∃g, h ∈ C : f = g − h}. Vérifier que F est un ℝ-ev pour les lois de E.

Exercice 7. Soit E un ev, A un sous-espace propre de E, c’est-à-dire A ≠ {0} et A ≠ E.

Montrer que (E \ A) ∪ {0} n’est pas un sev de E. Exercice 8. Soit I un intervalle de ℝ et x_{0} ∈ I. Soit E l’espace vectoriel sur ℝ des applications

numériques définies sur I. On désigne par F le sous-ensemble de E formé des fonctions f telles que f(x_{0}) = a où a est donné. Montrer qu’il existe une seule valeur de a pour laquelle F est un sous-espace vectoriel de E.

Exercice 9. Soient E, F, G des 𝕂-ev, f une application linéaire surjective de E dans F et g

une application de F dans G. Montrer que si g ∘ f est linéaire, alors g est linéare. Exercice 10. Soit E = 𝕂[X] et E_{n} = {P ∈ E; deg P ≤ n} où n ∈ ℕ. Soit φ l’application de

E dans E définie par φ(P) = XP′ + P où P′ désigne la dérivée de P.

(a) Montrer que φ est un endomorphisme de E et que la restriction φ_{n} de φ à E_{n} est un endomorphisme de E_{n}.

(b) Montrer que φ_{n} est surjective.

(c) Déterminer les polynômes P ∈ E_{n} et les scalaires λ tels que φ(P) = λP.

En déduire que φ est un automorphisme de E.

Exercice 11. Soient E, F, G des 𝕂-ev, u ∈ L(E, F), v ∈ L(F, G). Montrer que les applications

\begin{matrix}u^{∗} : L(F, G) & → L(E, G) \\ w & ↦ w ∘ u \end{matrix} et \begin{matrix}v_{∗} : L(E, F) & → L(E, G) \\ w & ↦ v ∘ w \end{matrix} sont linéaires.

Exercice 12. Soit E un 𝕂-ev. Montrer que l’application φ de L(𝕂, E) dans E définie par

φ(f) = f(1) est un isomorphisme de 𝕂-ev. Exercice 13. Soit E un 𝕂-ev et u ∈ L(E). On pose u^{0} = id_{E}, et pour k ∈ ℕ^{∗}, u^{k} = u ∘ u^{k−1}.

Pour P = a_{0} + a_{1}X + ... + a_{n}X^{n} ∈ 𝕂[X], on pose P (u) = a_{0} id_{E} +a_{1}u + ... + a_{n}u^{n}.

(a) Montrer que pour tout P, Q ∈ 𝕂[X], on a (P Q)(u) = P (u) ∘ Q(u).

(b) Montrer que si u n’est pas injectif alors : ker u ⊂ ker P (u) ⟺ P (0) = 0.

(c) Montrer que si P (0) ≠ 0 alors ker P (u) ⊂ im u. Exercice 14. Soient F et G deux sous-espaces supplémentaires de E. Tout élément x de E

s’écrit donc de manière unique x = y + z avec y ∈ F et z ∈ G.

(a) Montrer que l’application s_{F} : x ↦ y − z est un endomorphisme de E, appelé symétrie par rapport à F parallèlement à G.

(b) Montrer que s_{F} = id_{E} −2 p_{G} = 2 p_{F} − id_{E} = p_{F} − p_{G}, ou p_{X} est le projecteur sur X. Exercice 15. Soit F un sev d’un ev E, F_{1} et F_{2} deux supplémentaires de F. Montrer que la

restriction u à F_{2} du projecteur sur F_{1} parallèlement à F est un isomorphisme de F_{2} sur F_{1}.

Exercice 16. Soient E un ev et F un sev de E tels que : ∀φ ∈ E^{∗} \ {o}, φ|_{F} ≠ o. Montrer que F = E. (Indication : si E′ est un supplémentaire de F tel que E′ ≠ {o} et si a ∈ E′, considérer ψ ∈ E^{∗} tel que ψ(a) ≠ 0).

Exercice 17. Montrer que les familles suivantes sont libres dans A(ℝ, ℝ) :

(a) (f_{α})_{α∈ℝ}, f_{α}(x) = e^{αx}.

(b) (f_{k})_{k∈ℕ^{∗}} et (g_{k})_{k∈ℕ}, f_{k}(x) = sin kx et g_{k}(x) = cos kx. Exercice 18. Soit (P_{k})_{k} une suite de polynômes de ℝ[X] telle que deg P_{k} = k pour tout k ∈ ℕ.

(a) Montrer que (P_{k})_{k} est une base de ℝ[X].

(b) Soit a ∈ ℝ. Montrer que {(X + a)^{n}}_{n∈ℕ} est une base de ℝ[X]. Pour P ∈ ℝ[X],

donner les coordonnées de P dans cette base.

Exercice 19. Montrer qu’il existe une et une seule application linéaire u de ℝ^{3} dans ℝ^{2} telle que u(−1, 2, 0) = (1, 0), u(0, 1, 1) = (0, 1), u(1, 1, 1) = (1, 1). Calculer u(x, y, z) pour (x, y, z) arbitraire dans ℝ^{3}.

Exercice 20. Soit E = ℂ[X]. Pour tout a ∈ ℂ, on note φ_{a} l’élément de L(E, ℂ) défini par

φ(P) = P (a). Montrer que la famille (φ_{a})_{a∈ℂ} est libre dans L(E, ℂ). Exercice 21. Soit n ∈ ℕ. Un élément x de E = 𝕂^{n} est noté x = (x_{1}, ..., x_{n}). Soit a ∈ 𝕂^{n} et

φ : 𝕂^{n} → 𝕂 tels que φ(x) = a_{1}x_{1} + ... + a_{n}x_{n}. On pose H = {x ∈ 𝕂^{n}, φ(x) = 0}.

(a) Montrer que si H ≠ E, alors H est un sev de E possédant une base de n−1 éléments.

(b) Caractériser les supplémentaires de H. Exercice 22. On note x = (x_{1}, ..., x_{n}) l’élément générique de 𝕂^{n}. A tout a ∈ 𝕂^{n} on associe

φ_{a} ∈ A(𝕂^{n}, 𝕂) définie par φ_{a}(x) = a_{1}x_{1} + ... + a_{n}x_{n}. Monter que φ_{a} ∈ (𝕂^{n})^{∗} et que φ : 𝕂 → (𝕂^{n})^{∗} ; a ↦ φ_{a} est un isomorphisme. [Indication : utiliser la base canonique de 𝕂^{n} pour montrer la surjectivité.]

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Espaces vectoriels de dimension finie

Exercice 23. Soit E = C^{0}([0, 1]; ℝ). Pour tout n ∈ ℕ, soit φ_{n} la forme linéaire définie sur E par φ_{n}(f) = ∫_{0}^{1} t^{n} f(t) dt .

(a) Montrer que si f est une fonction positive de E, alors φ_{0}(f) = 0 entraîne f = 0. (considérer une primitive de f sur [0, 1]). En déduire que (φ_{n})_{n} est libre.

(b) Soit u : E → (ℝ^{n+1})^{∗} ; f ↦ u(f) = (φ_{0}(f), ..., φ_{n}(f)). Montrer que u est surjective. [Ind. : appliquer le résultat de l’exercice 16 au sev F = im u et utiliser l’exercice 22.]

Exercice 24. (a) Soient E un 𝕂-ev de dimension finie, f_{1} etf_{2} deux formes linéaires sur E.

Montrer que ker f_{1} = ker f_{2} si et seulement si : ∃λ ∈ 𝕂^{∗}, f_{1} = λf_{2}.

(b) Soit V = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) ∈ ℂ^{4}; x_{1} − ix_{4} = 0 et x_{1} + ix_{2} − x_{3} = 0}. Quelles sont à priori les valeurs possibles pour dim V ? Montrer en utilisant (24a) que dim V ≤ 2.

(c) Donner une base de V. Exercice 25. Dans ℝ^{3}, on considère les vecteurs v_{1} = (1, 2, 0) et v_{2} = (−6, 0, 2).

(a) Montrer que {v_{1}, v_{2}} est libre.

(b) Compléter la partie {v_{1}, v_{2}} pour obtenir une base de ℝ^{3}. Exercice 26. Soit E = {P ∈ ℝ[X] : deg(P) ≤ 2}. On pose

P_{0}(X) = −1, P_{1}(X) = 2X + a, P_{2}(X) = −X^{2} + 2bX − c .

où a, b c sont des paramètres réels. Ecrire la base canonique de E. Quelle est la dimension de E? Montrer que {P_{0}, P_{1}, P_{2}} forme une base de E.

Exercice 27. Soit f l’application de ℝ^{3} dans ℝ^{2} définie par f(x, y, z) = (4x − y, −x + 52z). (a) Montrer que f est linéaire.

(b) Déterminer ker f, en donner une base.

(c) Déterminer une partie génératrice de im u, puis une base de im u. Exercice 28. Soit E un ℝ-e.v de dimension 4, B = (e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}) une base de E. On désigne

par F le sous-espace vectoriel de E engendré par les vecteurs

u_{1} =  e_{1} + 2e_{2} − 3e_{3} + e_{4}
u_{2} = − 2e_{1} + e_{2} − e_{3} + 3e_{4}
u_{3} =  e_{1} + 7e_{2} − 10e_{3} + 6e_{4}
u_{4} = 5e_{1}  − e_{3} − 5e_{4}

Déterminer une base de F. (On précisera les relations de dépendance entre les u_{i}).

Exercice 29. (a) Soient E et F deux 𝕂-espace vectoriels de dimensions finies m et n. Soit B = (e_{1}, e_{2}, ..., e_{m}) et C = (f_{1}, f_{2}, ..., f_{n}) des bases respectives de E et F. Déterminer une base de E × F ; en déduire la dimension de E × F.

(b) Soient E un ev, E_{1} et E_{2} deux sev de E. On considère l’application φ : E_{1} ×E_{2} → E définie par φ(x_{1}, x_{2}) = x_{1} + x_{2}. i. Montrer que ker φ = {(x, −x); x ∈ E_{1} ∩ E_{2}}. En déduire que ker φ et E_{1} ∩ E_{2}

sont isomorphes. ii. En utilisant (29a), montrer que

dim(E_{1} + E_{2}) = dim E_{1} + dim E_{2} − dim(E_{1} ∩ E_{2}).

Exercice 30. (a) Montrer que l’application u : ℝ^{3} → ℝ^{4} définie par

u(x, y, z) = ( 5x + 2y − z , −8x − 3y + 2z , −x − 2y + 3z , 3x − y − 5z )

est linéaire.

(b) Montrer que V = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x − 5y = 0} est un sev de ℝ^{3}.

(c) Déterminer u(V), l’image de V par u. Exercice 31. On considère l’application linéaire f : ℂ^{3} → ℂ^{3} définie par

f(e_{1}) = αe_{1} + 2e_{2} + 3e_{3}; f(e_{2}) = ie_{2} + αe_{3}; f(e_{3}) = e_{2} + 5e_{3}.

où {e_{1}, e_{2}, e_{3}} est la base canonique de ℂ^{3}.

(a) Soit (x, y, z) ∈ ℂ^{3}, calculer f(x, y, z).

(b) Déterminer ker(f), im(f) ainsi qu’une base pour chacun de ces sev selon les valeurs

de α. Préciser, pour chaque cas, le rang de f.

Exercice 32. On désigne par F le sous-espace vectoriel de ℝ^{4} engendré par les vecteurs

u_{1} = (−1, 1, −2, 3); u_{2} = (−2, 1, −3, 1); u_{3} = (0, −1, 1, 5); u_{4} = (1, −2, 2, 3).

Déterminer une base de F. (On précisera les relations de dépendance entre les u_{i}). Exercice 33. Soient E et F deux 𝕂-ev de dimension finie. Montrer que E×F est de dimension

finie et que dim(E × F) = dim(E) + dim(F). Exercice 34. Soient E un ev de dimension finie n ∈ ℕ^{∗}, f ∈ L(E), a ∈ E tels que

(f(a), f^{2}(a), ..., f^{n}(a)) soit libre. Montrer que (a, f(a), ..., f^{n−1}(a)) est une base de E et que f est un automorphisme de E.

Exercice 35. Soient E un ev de dimension finie et F un sev de E.

(a) Montrer que si F est de dimension finie, alors :

∀u ∈ L(E), (F ⊂ u(F) ⇒ F = u(F)).

(b) Donner un contre-exemple quand F n’est pas de dimension finie. Exercice 36. Soient E un 𝕂-ev de dimension finie et u ∈ L(E) de rang 1. Montrer qu’il existe

un unique λ ∈ 𝕂 tel que u^{2} = λu.

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Travaux Dirigés : Algèbre Linéaire — Série 3

Calcul matriciel

Exercice 37. Soit

A = (\begin{matrix}2 & 1 \\ −3 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix}) , B = (\begin{matrix}−2 & 5 \\ 5 & 0 \end{matrix}) , C = (\begin{matrix}−1 & 1 & 3 \\ −1 & −4 & 0 \\ 0 & 2 & 5 \end{matrix}) , D = (1 2 3) , E = (\begin{matrix}1 \\ −2 \end{matrix}) .

(a) Effectuer, si possible, les produits matriciels suivants :

AB; BA; AC; CA; AE; EA; EB; BE; CD; DC.

(b) Parmi les matrices précédentes, lesquelles sont symétriques ? Exercice 38. Montrer que l’ensemble S_{n}(𝕂) des matrices carrées symétriques d’ordre n est un

𝕂-espace vectoriel. Le produit de deux matrices symétriques est-il symétrique ? Exercice 39. Soit n ∈ ℕ^{∗}. On désigne par E_{ij} l’élément de rang (i, j) de la base canonique

de M_{n}(ℝ) ; tous les coefficients de E_{ij} sont nuls sauf celui situé à la position (i, j) (i-éme ligne et j-ème colonne), qui vaut 1. Ainsi toute matrice A = (a_{ij}) ∈ M_{n}(ℝ) s’écrit de façon unique

A = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} a_{ij}E_{ij}.

(a) Montrer que

E_{ij} · E_{kl} = \{ \begin{matrix}0 & si & j ≠ k \\ E_{il} & si & j = k \end{matrix} .

Utiliser ce résultat pour calculer le produit (\begin{matrix}1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}) · (\begin{matrix}5 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}) .

(b) Pour i ≠ j, calculer les produits A.E_{ij} et E_{ij}.A. En déduire une interprétation des produits A(I + λE_{ij}) et (I + λE_{ij})A où λ ∈ ℝ et I = I_{n}.

Exercice 40. Soit E l’ensemble des matrices de M_{3}(ℝ) de la forme ( \begin{matrix}a + c & b & −c \\ b & a + 2c & −b \\ −c & −b & a + c \end{matrix} )

et notées M(a, b, c) où (a, b, c) ∈ ℝ^{3}.

(a) Montrer que M(a, b, c) peut s’écrire M(a, b, c) = aI + bJ + cK où I = I_{3}, J et K étant indépendants de a, b et c. En déduire que E est un ℝ-espace vectoriel dont on donnera la dimension.

(b) Calculer J^{2}, JK, KJ, K^{2} en fonction de I, J et K. En déduire que E est stable pour

la multiplication matricielle.

Exercice 41. Soit D_{n}(𝕂) l’ensemble des matrices diagonales d’ordre n. Montrer que (a) L’ensemble D_{n}(𝕂) est un sous-espace vectoriel de M_{n}(𝕂).

(b) Si D et D′ sont deux élément de D_{n}(𝕂), alors DD′ ∈ D_{n}(𝕂).

(c) Une matrice D diagonale est inversible si et seulement si tous ses éléments diagonaux sont non nuls. Déterminer alors D^{−1}.

(d) Si D ∈ D_{n}(𝕂), calculer D^{p} pour p ∈ ℕ. Exercice 42. Soit (e) la base canonique de ℝ^{3}. Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} défini par

A = Mat(f; (e)) = (\begin{matrix}−2 & −1 & 2 \\ −15 & −6 & 11 \\ −14 & −6 & 11 \end{matrix})

(a) Calculer f(u) où u = e_{1} + e_{2} + 2e_{3}.

(b) On pose v = 3e_{2} + 2e_{3} et (ϵ) = {u, v, e_{3}}.

i. Démontrer que (ϵ) est une base de ℝ^{3}.

ii. Déterminer T = Mat(f, (ϵ)). En déduire que f est bijective

(c) Soit N = (\begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}).

i. Calcuer N^{2}. En déduire N^{k} pour k ≥ 2.

ii. Soit n ∈ ℕ. Calculer T^{n} en fonction de n et N, puis en fonction de n uniquement. En déduire A^{n} en fonction de n.

Exercice 43. Soit A = (\begin{matrix}0 & 1 & −1 \\ −1 & 2 & −1 \\ 1 & −1 & 2 \end{matrix}).

(a) i. Calculer A^{2} − 3A + 2I où I = I_{3}. En déduire que A est inversible et calculer

A^{−1}. ii. Calculer A^{−1} par la méthode de Gauss.

(b) Pour n ∈ ℕ^{∗} déterminer le reste de la division euclidienne de X^{n} par X^{2} − 3X + 2.

En déduire une expression de A^{n} en fonction de A et I puis en fonction de n.

Exercice 44. Dans E = ℝ_{1}[X], on considère les polynômes P_{1} = 3X + 2 et P_{2} = 2X + 3. Montrer qu’ils forment une base de E. Ecrire la matrice M de l’application linéaire φ : P ↦ P′ dans cette base (P′ désigne la dérivée de P). Montrer de deux façons différentes que M^{2} = 0.

Exercice 45. Dans M_{2}(ℝ) on considère l’application φ qui à M = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) associe φ(M) =

( \begin{matrix}a − b & d − c \\ c − d & b − a \end{matrix} ).

a) Montrer que φ est un endomorphisme. b) Touver la matrice de φ dans la base canonique de M_{2}(ℝ).

c) Donner une base de chacun des sous-espaces im φ et ker φ.

d) Ecrire la matrice de la restriction de φ à im φ dans la base précédente. Exercice 46. En utilisant la méthode de Gauss, étudier l’inversibilité des matrices suivantes

et déterminer éventuellement leurs inverses :

A = ( \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ −3 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}−2 & 5 \\ 5 & 0 \end{matrix} ) , C = ( \begin{matrix}−1 & 1 & 3 \\ −1 & −4 & 0 \\ 0 & 2 & 5 \end{matrix} ) , D = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & −1 \\ −1 & 1 & 3 & 1 \\ −1 & −4 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 5 & 1 \end{matrix} ) .

Exercice 47. Les matrices suivantes sont-elles inversibles ? Si oui calculer leurs inverses.

A = (\begin{matrix}1 & 2 & −3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) , B = (\begin{matrix}2 & 2 & 3 \\ 1 & −1 & 0 \\ −1 & 2 & 1 \end{matrix}) , C = (\begin{matrix}1 & 3 & 5 \\ 2 & 7 & 1 \\ 0 & 0 & −9 \end{matrix}) .

Exercice 48. Soient les matrices

A = (\begin{matrix}2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \end{matrix}) , B = (\begin{matrix}2 & −1 & 2 \\ 1 & −2 & 2 \\ 2 & −2 & 3 \end{matrix}) , C = (\begin{matrix}1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \end{matrix}) , D = (\begin{matrix}1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \end{matrix}) .

Montrer que A est inversible et calculer A^{−1}. En déduire que B, C, D sont inversibles et calculer B^{−1}, C^{−1}, D^{−1}.

Systèmes linéaires

Exercice 49. Résoudre par la méthode du pivot de Gauss les systèmes suivants : (a) dans ℝ^{3}

\{ \begin{matrix}3x & − 2y & − 3z & = a \\ 2x & + 3y & + z & = b & (a, b, c) ∈ ℝ^{3} \\ 17x & + 6y & − 5z & = c \end{matrix}
(b) dans ℝ^{4}
\{ \begin{matrix}x & + 2y & + 2z & − t & = 1 \\ 2x & + y & + 2z & & = 2 \\ − x & − y & − z & + t & = 1 \\ 3x & − y & − 2z & + t & = 2 \end{matrix}

Exercice 50. Résoudre et discuter suivant les valeurs du paramètres réel a le système :

\{ \begin{matrix}(a + 1)x + & y + & z & = a^{2} + 3a \\ x + & (a + 1)y + & z & = a^{3} + 3a^{2} \\ x + & y + & (a + 1)z & = a^{4} + 3a^{3} \end{matrix}

Exercice 51. Soient u = (1, 1, 2), v = (3, 0, 1), w = (5, 2, 5) trois vecteurs de ℝ^{3}. Trouver les

conditions sur (a, b, c) ∈ ℝ^{3} pour qu’il existe (x, y, z) ∈ ℝ^{3} tel que xu+yv +zw = (a, b, c). Exercice 52. Résoudre le système

\{ \begin{matrix}3x & + 4y & − 5z & + 6t & + u & = 0 \\ 2x & − 3y & + 3z & − 3t & & = 0 \\ 4x & + 11y & − 13z & + 16t & − u & = 0 \\ 7x & − 2y & + z & + t & − 2u & = 0 \end{matrix}

Exercice 53. Dans ℝ^{3} muni de sa base canonique (e_{1}, e_{2}, e_{3}), on considère la famille (u, v, w) avec u = (2, 1, 1) ; v = (1, 2, 1) ; w = (1, 1, 2).

(a) Calculer les coodonnées (x, y, z) du vecteur ξ u + η v + ζ w dans la base canonique en fonction de ξ, η, ζ.

(b) Démontrer que (u, v, w) est une base de ℝ^{3} et calculer les coordonnées (ξ, η, ζ) du

vecteur xe_{1} + ye_{2} + ze_{3} dans la base (u, v, w).

Exercice 54. (a) Soit (e_{1}, e_{2}, e_{3}) la base canonique de ℝ^{3}. Soit v_{1} = 2e_{1} + e_{2} − e_{3} ; v_{2} =

2e_{1} − e_{2} + 2e_{3} ; v_{3} = 3e_{1} + e_{3}. Montrer que (v) = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) est une base de ℝ^{3}.

(b) Soit U l’endomorphisme de ℝ^{3} défini par U(x, y, z) = (−2x+y−z, x−2y, 3x+2y−z). Trouver la matrice de U dans la base (v).

(c) Soit (f_{1}, f_{2}) la base canonique de ℝ^{2}, soit w_{1} = −f_{1} + f_{2} ; w_{2} = f_{1} + f_{2}. Vérifier que (w) = (w_{1}, w_{2}) est une base de ℝ^{2}.

(d) Soit V l’application linéaire de ℝ^{3} dans ℝ^{2} définie par V (x, y, z) = (4x − y + z, x − 3y − z). Trouver la matrice de V par rapport aux bases (v) et (w).